Per quali valori di x la funzione è derivabile...

[gordon_shumway]

ragazzi io non so mai da cosa partire per fare questi tipi di esercizi.
esempio:

per quali valori di x la funzione f(x) risulta derivabile ponendo per ogni $ x in RR $

$ f(x)= ( ( -4x+x^2 , ; x <= -1 ),( -5-x^3 , ; x > -1 ) ) $

cioè sarebbe $ f(x)= -4x+x^2 $ quando $ x <= -1 $ e $ f(x)= -5-x^3 $ quando $ x > 1 $
il tutto è a sistema

[itpareid]

non capisco cosa hai voluto scrivere...

[gordon_shumway]

ho corretto il post

[G.D.5]

Quella non è una funzione.

[itpareid]

controlla i $>$ e i $<$ nella definizione dei valori della $x$

[gordon_shumway]

scusate ora ho corretto, grazie per la pazienza

[itpareid]

e tra $-1$ e $1$?

[gordon_shumway]

"itpareid":e tra $-1$ e $1$?

sono tutti e due -1

[itpareid]

verifica se in $-1$ derivata destra e sinistra coincidono

[G.D.5]

Ed allora quello che devi fare è capire se la funzione è derivabile in [tex]x=-1[/tex], essendo chiaramente derivabile in [tex]\mathbb{R}\setminus\{-1\}[/tex].

[gordon_shumway]

"WiZaRd":Ed allora quello che devi fare è capire se la funzione è derivabile in [tex]x=-1[/tex], essendo chiaramente derivabile in [tex]\mathbb{R}\setminus\{-1\}[/tex].

qundi sostituisco alla x dellle due funzioni -1 e il risultato cosa mi deve dare?

[G.D.5]

No: il valore [tex]-1[/tex] lo puoi sostituire solo in una delle due espressioni che definiscono la sola funzione che hai e quello che esce è semplicemente il valore della funzione nel punto [tex]x=-1[/tex]. Quello che devi fare è calcolare la derivata destra e quella sinistra in [tex]x=-1[/tex] e vedere se sono o meno uguali.

[gordon_shumway]

le derivate destre e sinistre di tutte due le funzioni mi risultano sempre 1 vuol dire che è derivabile quindi?

[gordon_shumway]

"gordon_shumway":ragazzi io non so mai da cosa partire per fare questi tipi di esercizi.
esempio:

per quali valori di x la funzione f(x) risulta derivabile ponendo per ogni $ x in RR $

$ f(x)= ( ( -4x+x^2 , ; x <= -1 ),( -5-x^3 , ; x > -1 ) ) $

cioè sarebbe $ f(x)= -4x+x^2 $ quando $ x <= -1 $ e $ f(x)= -5-x^3 $ quando $ x > 1 $
il tutto è a sistema

allora devo usare le formule della derivata destra e sinistra quindi:

$ f'(x_-1) = lim_(h -> -1) (f(h+x_-1)-f(x_-1))/h $

sia per la funzione $-4x+x^2$ sia per $-5-x^3$ ?

[@melia]

$f(-1)=-4*(-1)+(-1)^2=5$,
$lim_(x->-1^-) f(x)=lim_(x->-1^-) (-4x+x^2)=5$
$lim_(x->-1^+) f(x)=lim_(x->-1^+) (-5-x^3)=-4$
La funzione non è continua, quindi non è derivabile

[gordon_shumway]

"@melia":$f(-1)=-4*(-1)+(-1)^2=5$,
$lim_(x->-1^-) f(x)=lim_(x->-1^-) (-4x+x^2)=5$
$lim_(x->-1^+) f(x)=lim_(x->-1^+) (-5-x^3)=-4$
La funzione non è continua, quindi non è derivabile

grazie per l'aiuto!

[gordon_shumway]

"gordon_shumway":[quote="@melia"]$f(-1)=-4*(-1)+(-1)^2=5$,
$lim_(x->-1^-) f(x)=lim_(x->-1^-) (-4x+x^2)=5$
$lim_(x->-1^+) f(x)=lim_(x->-1^+) (-5-x^3)=-4$
La funzione non è continua, quindi non è derivabile

grazie per l'aiuto![/quote]

cmq in generale quali regole devo seguire per esercizi di questo tipo?

[@melia]

Prima di tutto devi verificare la continuità, perché una funzione che non è continua NON è derivabile.
Una volta verificata la continuità passi alle derivate, che dovrebbero essere calcolate con il limite del rapporto incrementale, ma, nel caso di funzioni semplici, possono essere calcolate con le formule di derivazione e poi con il limite al punto interessato.

[gordon_shumway]

ok, allora ad esempio $ f(x)=|+2-12x+3x^2| $ $ AA x in RR $

abbiamo:

$ +2-12x+3x^2 $ per $x>0$ e $-2+12x-3x^2$ per $x<0$

ora devo fare il limite del rapporto incrementale per x che tende a 0 ?

[@melia]

Sì

[gordon_shumway]

"gordon_shumway":ok, allora ad esempio $ f(x)=|+2-12x+3x^2| $ $ AA x in RR $

abbiamo:

$ +2-12x+3x^2 $ per $x>0$ e $-2+12x-3x^2$ per $x<0$

ora devo fare il limite del rapporto incrementale per x che tende a 0 ?

quindi avrò:

$ lim_(x -> 0+) (2+h-2)/h = 1 $

e

$ lim_(x -> 0-) (-2+h+2)/h = 1 $

quindi è derivabile?