Per i maturandi:
Dato ke gli esami di maturità si avvicinano propongo di usare qst topic per inserire problemi e domande di questionario di particolare interesse da condividere con gli altri!
Ki è il primo a proporre un esercizio?
Ki è il primo a proporre un esercizio?
Risposte
Cominciamo con un semplice quesito che ci hanno dato alla simulazione della seconda prova:
Si consideri la funzione $f(x)=x^3+x^2+x+a$ con $ainRR$
Si dimostri che essa ha uno solo punto di flesso e che tale punto rappresenta il centro di simmetria della curva.
Si consideri la funzione $f(x)=x^3+x^2+x+a$ con $ainRR$
Si dimostri che essa ha uno solo punto di flesso e che tale punto rappresenta il centro di simmetria della curva.
Se $f(x)=x^3+x^2+x+a$ allora $f''(x)$ è un polinomio di primo grado quindi l'eq. $f''(x)=0$ ha solo una soluzione $x_0$ a cui corrisponde l'unico punto di flesso $P(x_0;f(x_0))$
Per quanto riguarda il secondo punto non so dare velocemente una risposta rigorosa, però mi sembra intuitivo che essendo di 3° grado la curva sia simmetrica
Per quanto riguarda il secondo punto non so dare velocemente una risposta rigorosa, però mi sembra intuitivo che essendo di 3° grado la curva sia simmetrica
Va bene per la prima parte.
Certo però devi dimostrare che il centro di simmetria è proprio il punto di flesso.
"eafkuor":
Per quanto riguarda il secondo punto non so dare velocemente una risposta rigorosa, però mi sembra intuitivo che essendo di 3° grado la curva sia simmetrica
Certo però devi dimostrare che il centro di simmetria è proprio il punto di flesso.
Eccone un altro semplice.
Tra tutti i cilindri retti di superficie totale $S_(t)=2pis$ essendo $s$ un parametro reale, trovare quello di volume massimo.
Tra tutti i cilindri retti di superficie totale $S_(t)=2pis$ essendo $s$ un parametro reale, trovare quello di volume massimo.
"giuseppe87x":
Eccone un altro semplice.
Tra tutti i cilindri retti di superficie totale $S_(t)=2pis$ essendo $s$ un parametro reale, trovare quello di volume massimo.
Un indizio? Mi sono ritrovato a fare derivate parziali...
Derivate parziali???
Chiama il raggio $r$ e cerca di ricavare la funzione $V(r)$ che da il volume in funzione del raggio.
Chiama il raggio $r$ e cerca di ricavare la funzione $V(r)$ che da il volume in funzione del raggio.
"giuseppe87x":
Derivate parziali???
Chiama il raggio $r$ e cerca di ricavare la funzione $V(r)$ che da il volume in funzione del raggio.
Si ma in questa funzione c'è anche $s$
Non so se ho sbagliato ma mi viene $V(r,s)=pir^2(s/r-r/2)$
Ma $s$ è fissato, non è variabile!
Si consideri l'equazione $z^2-(x-1)z+x=0$ con x parametro variabile in R
e siano $z_1,z_2$ le sue radici.
Si studi ,al variare di x,la funzione:
$y=f(x)=1/(z_1^3)+1/(z_2^3)+3/(z_1^2z_2^3)+3/(z_1^3z_2^2)$
e se ne disegni il grafico $Gamma$
Infine si calcoli l'area della parte finita di piano limitata da $Gamma$ e
dall'asse x.
karl
e siano $z_1,z_2$ le sue radici.
Si studi ,al variare di x,la funzione:
$y=f(x)=1/(z_1^3)+1/(z_2^3)+3/(z_1^2z_2^3)+3/(z_1^3z_2^2)$
e se ne disegni il grafico $Gamma$
Infine si calcoli l'area della parte finita di piano limitata da $Gamma$ e
dall'asse x.
karl
Se ho fatto bene i conti $f(x)=(x^3 - 6x^2 + 9x - 4)/x^3$, e $int_{4}^{+oo} f(x) dx = oo$
Sicuramente ho sbagliato. Se è vero vorrei consigli!
Ciao!
Sicuramente ho sbagliato. Se è vero vorrei consigli!
Ciao!
L'area richiesta e' finita:basta fare il grafico.
Una osservazione banale: $Gamma$ non e' la f(x)
ma il grafico e quindi sarebbe meglio scrivere y=....
o f(x)=.....
Leonardo,ma te fai la maturita' quest'anno?
karl
Una osservazione banale: $Gamma$ non e' la f(x)
ma il grafico e quindi sarebbe meglio scrivere y=....
o f(x)=.....
Leonardo,ma te fai la maturita' quest'anno?
karl
"karl":
L'area richiesta e' finita:basta fare il grafico.
Una osservazione banale: $Gamma$ non e' la f(x)
ma il grafico e quindi sarebbe meglio scrivere y=....
o f(x)=.....
Leonardo,ma te fai la maturita' quest'anno?
karl
La maturità l'ho fatta l'anno scorso...per fortuna! Lo so che questo topi è rivolto ai maturandi, ma il quesito mi è parso interessante. Comunque la mia f(x) è esatta?
Ho ottenuto : $ Gamma = (x-1)^2(x-4)/x^3 $ esattamente come leonardo .
L'area non l'ho calcolta.
L'area non l'ho calcolta.
Si ,la f(x) e' quella.
karl
karl
Beh, allora:
$f(x)=(x^3 - 6x^2 + 9x - 4)/x^3$
$int_{1}^{4} f(x) dx = 63/8-12*ln(2)$
$f(x)=(x^3 - 6x^2 + 9x - 4)/x^3$
$int_{1}^{4} f(x) dx = 63/8-12*ln(2)$
1)Si dimostri che due parabole ,aventi i rispettivi assi
perpendicolari tra loro ,hanno in generale 4 punti
in comune che sono conciclici ,appartenenti cioe'
alla stessa circonferenza $Gamma$.
2)Si verifichi il risultato del punto (1) nel caso particolare
delle parabole:
$P_1-> x=y^2,P_2->y=-1/6x^2+7/6x$
e si calcoli l'area di ciascuna delle parti finite di piano limitate
da $Gamma$ e dagli assi coordinati
3)[Facoltativo]
Si calcoli l'area della parte finita di piano limitata da $Gamma$ e
da $P_1$ ed interamente contenuta nel semipiano $y<=0$
Leandro
perpendicolari tra loro ,hanno in generale 4 punti
in comune che sono conciclici ,appartenenti cioe'
alla stessa circonferenza $Gamma$.
2)Si verifichi il risultato del punto (1) nel caso particolare
delle parabole:
$P_1-> x=y^2,P_2->y=-1/6x^2+7/6x$
e si calcoli l'area di ciascuna delle parti finite di piano limitate
da $Gamma$ e dagli assi coordinati
3)[Facoltativo]
Si calcoli l'area della parte finita di piano limitata da $Gamma$ e
da $P_1$ ed interamente contenuta nel semipiano $y<=0$
Leandro
@Karl
Intendi qualsiasi tipo di parabola, anche con asse non parallelo agli assi cartesiani??
Le due parabole del punto due hanno due punti di intersezione e non hanno gli assi perpendicolari.
Forse non ho capito bene io il quesito.
Intendi qualsiasi tipo di parabola, anche con asse non parallelo agli assi cartesiani??
Le due parabole del punto due hanno due punti di intersezione e non hanno gli assi perpendicolari.
Forse non ho capito bene io il quesito.
L'essenza del 1° quesito sta proprio nello scegliere in maniera
...saggia sia il riferimento cartesiano sia le equazioni delle due
parabole .
Nel secondo quesito forse c'e' stata da parte tua un po' di
precipitosita'.In effetti la P1 ha asse la retta y=0 (asse x) mentre
la P2 ha asse la retta x=7/2 che e' perpendicolare all'asse x.
Facendo bene i calcoli si vede che le intersezioni di P1 e P2
sono 4.
karl
...saggia sia il riferimento cartesiano sia le equazioni delle due
parabole .
Nel secondo quesito forse c'e' stata da parte tua un po' di
precipitosita'.In effetti la P1 ha asse la retta y=0 (asse x) mentre
la P2 ha asse la retta x=7/2 che e' perpendicolare all'asse x.
Facendo bene i calcoli si vede che le intersezioni di P1 e P2
sono 4.
karl
Ti giuro che avevo letto $y=x^2$ al posto di $x=y^2$.
L'avevo immaginato!
Se sapessi quante volte ci sono cascato io...
karl
Se sapessi quante volte ci sono cascato io...
karl
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