Passaggio dubbio, limite & derivata

[Steven11]

Ciao a tutti.
Vorrei una conferma (o smentita, ovviamente).
E' corretto dire che
$lim_(xto x_0) frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0)=lim_(xto x_0) (f(x_0)-f(x))*1/(lim_(xto x_0) (x_0-x))$

Il dubbio nasce dal fatto che il secondo fattore ha zero al denominatore.
Il fatto è che volevo dimostrare in un altro modo rispetto al libro che una funzione è continua in un punto se ivi è derivabile.
Posto il procedimento
Partendo dall'ipotesi
$f'(x_0)=lim_(xto x_0) frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0)$
Se vale quanto chiesto sopra ho
$f'(x_0)=lim_(xto x_0) (f(x_0)-f(x))*1/(lim_(xto x_0) (x_0-x))$
ovvero, usando anche (sul numeratore al secondo membro) il fatto che il limite di una somma è la somma dei limiti
$f'(x_0)*lim_(xto x_0) (x_0-x)=lim_(xto x_0) f(x_0)-lim_(xto x_0) f(x)$
Il primo membro a questo punto vale zero, quindi giungo a
$lim_(xto x_0) f(x)=lim_(xto x_0) f(x_0)=f(x_0)$
Ed è finito.

Mi confermate quel passaggio su cui ho dei dubbi, oppure c'è quelche condizione che non mi consente di usare quella proprietà dei limiti?
Grazie mille, buona serata.
Stefano.

[oronte83]

La regola dice:

$lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=L_1/L_2$, se $L_2ne0$...

[Steven11]

Si lo so, ma io non ho tirato in mezzo i valori dei limiti, li ho lasciati tali.

[oronte83]

Nel tuo caso $L_2=lim_(x->x_0)(x-x_0)=0$, cioe' stai dividendo proprio per 0. Il limite del quoziente e' il quoziente dei limiti, se il limite del denominatore non e' 0 e in questo caso lo e'.
Infatti nella dimostrazione tradizionale di questo teorema, si considera il limite del quoziente, moltiplicato per il limite di $x-x_0$, che tendendo a 0 annulla questo termine.

$f(x)=f(x_0)+((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))(x-x_0)$

passando al limite

$lim_(x->x_0)f(x)=lim_(x->x_0)[f(x_0)+((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))(x-x_0)]=$

$=f(x_0)+lim((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))lim(x-x_0)=f(x_0)+0$

[fu^2]

"Steven":Si lo so, ma io non ho tirato in mezzo i valori dei limiti, li ho lasciati tali.

li hai lasciati tali ma poii lo hai risolto secondo me è un passaggio un pò al limite in quanto dividi in due una forma indeterminata e quindi lasci diviso per zero il secondo fattore che è scorretto

[Steven11]

Va bene, grazie a tutti e due.
A presto.

[franced]

"Steven":Ciao a tutti.
Vorrei una conferma (o smentita, ovviamente).
E' corretto dire che
$lim_(xto x_0) frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0)=lim_(xto x_0) (f(x_0)-f(x))*1/(lim_(xto x_0) (x_0-x))$

Il dubbio nasce dal fatto che il secondo fattore ha zero al denominatore.
Il fatto è che volevo dimostrare in un altro modo rispetto al libro che una funzione è continua in un punto se ivi è derivabile.
Posto il procedimento
Partendo dall'ipotesi
$f'(x_0)=lim_(xto x_0) frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0)$
Se vale quanto chiesto sopra ho
$f'(x_0)=lim_(xto x_0) (f(x_0)-f(x))*1/(lim_(xto x_0) (x_0-x))$
ovvero, usando anche (sul numeratore al secondo membro) il fatto che il limite di una somma è la somma dei limiti
$f'(x_0)*lim_(xto x_0) (x_0-x)=lim_(xto x_0) f(x_0)-lim_(xto x_0) f(x)$
Il primo membro a questo punto vale zero, quindi giungo a
$lim_(xto x_0) f(x)=lim_(xto x_0) f(x_0)=f(x_0)$
Ed è finito.

Mi confermate quel passaggio su cui ho dei dubbi, oppure c'è quelche condizione che non mi consente di usare quella proprietà dei limiti?
Grazie mille, buona serata.
Stefano.

Forse ti servono questi passaggi:

$lim_(x \rightarrow x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = L$

significa che, per ogni $epsilon$, esiste $\delta$ tale che: per ogni $x \in I(x_0,delta)$ si ha:

$ L-epsilon < (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) < L + epsilon$

[Steven11]

Guarda franced, a me quella sembra essere solo la definizione di limite, e non capisco come potrebbe risolvere il poblema che ho sollevato...
Scusami, ciao.