Parametrica sui domini e funzioni
Data la funzione √(k-2-3senx) definire per quale valore di k la funzione ha per dominio un insieme non vuoto e non ha punti di accumulazione.
Non capisco quale condizione porre per far si che il dominio non abbia punti di accumulazione...
un'altra domandina: è possibile definire algebricamente il codominio di una funzione trascendente, ad es. f(x)= arc tan(x+x^2)?
ovviamente graficamente è possibile... mi chiedevo invece se si poteva evitare la rappresentazione, individuando algebricamente il codominio onde constatare più agevolmente (senza rappresentazione grafica) se la funzione è o meno una funzione limitata ( è limitata se il codominio è un insieme finito).
un'ultima cosa: basandoci sulle definizioni di funzioni monotone/crescenti decrescenti, ossia:
- se x1>x2 allora f(x1)>f(x2) la funzione è monotona crescente
-se x1f(x2) la funzione è monotona decrescente
come posso definire algebricamente che, ad esempio, la funzione y= 1/[(2^x)+1)] è crescente?
Grazie a chiunque mi aiuterà:)
Non capisco quale condizione porre per far si che il dominio non abbia punti di accumulazione...
un'altra domandina: è possibile definire algebricamente il codominio di una funzione trascendente, ad es. f(x)= arc tan(x+x^2)?
ovviamente graficamente è possibile... mi chiedevo invece se si poteva evitare la rappresentazione, individuando algebricamente il codominio onde constatare più agevolmente (senza rappresentazione grafica) se la funzione è o meno una funzione limitata ( è limitata se il codominio è un insieme finito).
un'ultima cosa: basandoci sulle definizioni di funzioni monotone/crescenti decrescenti, ossia:
- se x1>x2 allora f(x1)>f(x2) la funzione è monotona crescente
-se x1
come posso definire algebricamente che, ad esempio, la funzione y= 1/[(2^x)+1)] è crescente?
Grazie a chiunque mi aiuterà:)
Risposte
Il dominio se non ha punti di accumulazione deve essere formato di punti isolati. La radice quadrata esiste quando il radicando è positivo o nullo, il radicando è periodico di periodo $2pi$ a causa del seno, devo fare in modo che tale radicando possa valere 0 o essere negativo, così faranno parte del dominio solo i punti in cui si annulla.
Per $k= -1$ la funzione diventa $f(x)=sqrt(-3-3 sinx)$ che ha come dominio $x= - pi/2 + 2k pi$ con $k in ZZ$
La funzione arcotangente è limitata di suo perché può assumere valori solo nell'intervallo $ (-pi/2; pi/2)$
Ti faccio osservare che una funzione è limitata se il codominio è limitato, e non, come hai scritto, se il codominio è un insieme finito.
Non mi pare che $ y= 1/(2^x+1)$ sia crescente, basta, comunque, risolvere la disequazione $1/(2^(x_1)+1)> 1/(2^(x_2)+1)$
e trovare la relazione tra $x_1$ e $x_2$.
Per $k= -1$ la funzione diventa $f(x)=sqrt(-3-3 sinx)$ che ha come dominio $x= - pi/2 + 2k pi$ con $k in ZZ$
La funzione arcotangente è limitata di suo perché può assumere valori solo nell'intervallo $ (-pi/2; pi/2)$
Ti faccio osservare che una funzione è limitata se il codominio è limitato, e non, come hai scritto, se il codominio è un insieme finito.
Non mi pare che $ y= 1/(2^x+1)$ sia crescente, basta, comunque, risolvere la disequazione $1/(2^(x_1)+1)> 1/(2^(x_2)+1)$
e trovare la relazione tra $x_1$ e $x_2$.
per la parametrica: fortunatamente ero già riuscito a risolvere, grazie lo stesso:)
per il codominio: hai ragione, intendevo codominio limitato...tuttavia non mi hai indicato l'effettiva f^-1 della funzione, onde individuare il dominio di tale funzione inversa... ho scoperto come procedere algebricamente alla risoluzione algebricamente x fortuna
per la monotonia della f(x): ho scelto a caso tale funzione, l'ho inventata al momento... più che altro mi interessava lo svolgimento effettivo, che lei ha indicato con l'asserzione "trovare la relazione tra x1 e x2". Mi piacerebbe trattare dello svolgimento effettivo di quest'ultimo punto
Grazie per l'aiuto
per il codominio: hai ragione, intendevo codominio limitato...tuttavia non mi hai indicato l'effettiva f^-1 della funzione, onde individuare il dominio di tale funzione inversa... ho scoperto come procedere algebricamente alla risoluzione algebricamente x fortuna
per la monotonia della f(x): ho scelto a caso tale funzione, l'ho inventata al momento... più che altro mi interessava lo svolgimento effettivo, che lei ha indicato con l'asserzione "trovare la relazione tra x1 e x2". Mi piacerebbe trattare dello svolgimento effettivo di quest'ultimo punto
Grazie per l'aiuto
Come ti ho detto devi risolvere la disequazione $1/(2^(x_1)+1)> 1/(2^(x_2)+1)$
che non è particolarmente difficile, puoi moltiplicare tutto per i denominatori, visto che sono positivi, ottenendo
$2^(x_2)+1 > 2^(x_1)+1$, da cui $2^(x_2) > 2^(x_1)$, la funzione esponenziale $2^x$ è crescente, quindi si può lavorare sugli esponenti mantenendo il verso della disequazione: $x_2 > x_1$, ovvero $x_1 < x_2$. Ricapitolando
$x_1 < x_2$ $<=>$ $f(x_1)>f(x_2)$, la disuguaglianza risulta controversa, quindi la funzione è decrescente.
che non è particolarmente difficile, puoi moltiplicare tutto per i denominatori, visto che sono positivi, ottenendo
$2^(x_2)+1 > 2^(x_1)+1$, da cui $2^(x_2) > 2^(x_1)$, la funzione esponenziale $2^x$ è crescente, quindi si può lavorare sugli esponenti mantenendo il verso della disequazione: $x_2 > x_1$, ovvero $x_1 < x_2$. Ricapitolando
$x_1 < x_2$ $<=>$ $f(x_1)>f(x_2)$, la disuguaglianza risulta controversa, quindi la funzione è decrescente.
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