Parametri
ciao...io ho problemi con questo esercizio:
determinare il valore di k, in modo che la funzione sia sempre crescente. la funzione è $y=x^3-kx$
io so che per determinare la monotonia di una funzione devo fare $y'>0$ giusto? non so però come lasciare da solo il parametro! la derivata dovrebbe essere $y'=3x^2-k$ come devo procedere?
problema 2:
determinare il valore di a, in modo che la funzione $y=ax^3-x^2+5x$ non abbia i punti stazionari.
io ho cominciato con la derivata $y'=3ax^2-2x+5$, ho sostituito a con $(2x-5)/(3x^2)$ e poi ho fatto $3ax^2-2x+5=0$
determinare il valore di k, in modo che la funzione sia sempre crescente. la funzione è $y=x^3-kx$
io so che per determinare la monotonia di una funzione devo fare $y'>0$ giusto? non so però come lasciare da solo il parametro! la derivata dovrebbe essere $y'=3x^2-k$ come devo procedere?
problema 2:
determinare il valore di a, in modo che la funzione $y=ax^3-x^2+5x$ non abbia i punti stazionari.
io ho cominciato con la derivata $y'=3ax^2-2x+5$, ho sostituito a con $(2x-5)/(3x^2)$ e poi ho fatto $3ax^2-2x+5=0$
Risposte
Ciao, cominciamo con il primo: devi imporre$$
3x^2-k > 0 \ \forall k \in \mathbb{R}
$$Suggerimento: come deve essere il $\Delta$?
3x^2-k > 0 \ \forall k \in \mathbb{R}
$$Suggerimento: come deve essere il $\Delta$?
Per quanto riguarda il secondo non ho capito perchè hai sostituito $a$ con quella frazione...
Se una funzione non ha punti stazionari significa che la derivata prima non si annulla mai, quindi l'equazione$$y' = 0$$ non deve ammettere soluzioni. Come puoi imporre questo? Il suggerimento è lo stesso del post precedente!
Se una funzione non ha punti stazionari significa che la derivata prima non si annulla mai, quindi l'equazione$$y' = 0$$ non deve ammettere soluzioni. Come puoi imporre questo? Il suggerimento è lo stesso del post precedente!
forse $Δ$ deve essere <0 perchè in questo modo la funzione è sempre positiva, quindi $12k<0$, $k<0$?
Il problema è lo stesso in entrambi gli esercizi: il segno delle derivate
Nel primo esercizio basta che sia $k <=0$, in tal modo la derivata prima non cambia mai segno, è sempre positiva o nulla e la funzione risulta sempre crescente.
Nel secondo esercizio il discriminante dell'equazione di secondo grado associata alla derivata deve essere $Delta < 0$, in questo modo non potranno esserci né massimi, né minimi e neppure flessi a tangente orizzontale.
Nel primo esercizio basta che sia $k <=0$, in tal modo la derivata prima non cambia mai segno, è sempre positiva o nulla e la funzione risulta sempre crescente.
Nel secondo esercizio il discriminante dell'equazione di secondo grado associata alla derivata deve essere $Delta < 0$, in questo modo non potranno esserci né massimi, né minimi e neppure flessi a tangente orizzontale.
@mate947 Esatto. Ti faccio notare che tutto questo ha senso perchè il primo coefficiente è positivo. Altrimenti, con $\Delta$ negativo la derivata sarebbe stata sempre negativa e la funzione decrescente.
capito, anche nel secondo problema quindi devo trovare una funzione che sia sempre crescente o decrescente! ho provato e credo che la risposta sia $a>1/15$. non ho i risultati dell'esercizio, potresti dirmi se è giusto?
Sì mi viene lo stesso risultato.
immagino che lo stesso principio valga se l'esercizio mi dice di determinare il parametro, in modo che la funzione non abbia gli estremi!
Se con estremi intende punti di massimo o minimo allora direi di sì.
in un altro esercizio mi chiede di determinare il parametro in modo che la funzione abbia un punto di minimo e uno di massimo relativo. dopo aver fatto la derivata viene $y'=3ax^2+3$ come devo procedere? se faccio $3ax^2+3>0$ dopo cosa devo fare per trovare i punti di massimo e minimo
Anche qui devi ragionare sul numero di soluzioni che deve avere l'equazione $y' = 0$. In questo caso ne dovrà avere due, in modo da avere due cambi di segno, che corrispondono a un massimo e un minimo. Quindi il $\Delta$ dovrà essere maggiore di zero.
facendo ciò mi viene 0 punto minimo e il massimo? in teoria la $Δ$ dovrebbe essere $-4a$, se poi faccio $-4a>0$ mi ritrovo con $a<0$. $0$ è il massimo e il minimo?
"mate947":
facendo ciò mi viene 0 punto minimo e il massimo? in teoria la $Δ$ dovrebbe essere $-4a$, se poi faccio $-4a>0$ mi ritrovo con $a<0$. $0$ è il massimo e il minimo?
Nessuno dei due! $a<0$ è la condizione per la quale l'equazione $y' = 0$ ammette due soluzioni. Sono poi queste due soluzioni a rappresentare il massimo e il minimo.
Nel tuo caso hai $$
y' = 3ax^2+3 = 0 \rightarrow x^2 = -\frac{1}{a} \rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{1}{a}}.
$$
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