Parabols

[-selena-]

ciao...domani ho il compito di matematica..potete aiutarmi per favore questi esrcizi?graziee
1)scrivere l'equazione della retta tangente alla parabola x=-y^2+3y nel suo punto di ordinata 2.
2)Dal punto (0;8 ) condurre le tangenti alla parabola y=4-x^2
3)Si consideri la parabola di equazione y=ax^2+2(a-1)x+1. Per quali valori di a il vertice della parabola appartiene alla bisettrice del 1* e 3* quadrante?
4)data la parabola y=(x-2)^2 scrivere l'equazione della circonferenza avente il centro nel vertice comune delle due parabole e il cui raggio misura radice di 20.

Aggiunto 1 ore 54 minuti più tardi:

sì fin qui ci sono graziee

Aggiunto 2 ore 9 minuti più tardi:

sì riporta grazie
)per il terzo ho impostato il sistema a 3 ma non so come andare avanti..

Aggiunto 3 giorni più tardi:

grazie...potresti aiutarmi magari solo ad impostare gli altri due? grazie!

[BIT5]

Visto che domani hai compito, vediamo insieme di capire:

1)

Troviamo il punto di tangenza, che appartiene alla retta e alla parabola.

Il punto y=2 appartenente alla parabola avra' x=-2^2+6=2

Quindi sara' P(2,2)

Sappiamo che per un punto passano infinite rette. Le rette passanti per un punto hanno equazione:

[math] y-y_P=m(x-x_P) [/math]

Pertanto il fascio di rette sara'

[math]y-2=m(x-2) [/math]

Metti a sistema il fascio con la parabola per trovare i punti generici di intersezione:

[math] \{x=-y^2+3y \\ y=mx-2m+2 [/math]

la seconda diverra' (per comodita')

[math] x=\frac{y+2m-2}{m} [/math]

sostituiamo alla prima:

[math] \frac{y+2m-2}{m}=-y^2+3y [/math]

Calcoliamo (mcm)

[math] y+2m-2=-my^2+3my [/math]

Portiamo tutto a sinistra e ordiniamo secondo y:

[math] my^2+(1-3m)y+2m-2=0 [/math]

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado saranno le due ordinate (y) dei punti di intersezione.

Siccome vogliamo che questi punti non siano due ma uno solo (ovvero due coincidenti) dobbiamo fare in modo che l'equazione abbia due soluzioni coincidenti, ovvero che il delta sia = 0, quindi

[math] \Delta=(1-3m)^2-4(m)(2m-2)=0 [/math]

Quindi

[math] 1-6m+9m^2-8m^2+8m=0 \to m^2+2m+1=0 \\ \to (m+1)^2=0 \to m=-1 [/math]

La retta sara':

[math] y-2=-1(x-2) \to y=-x+2-2 \to y=-x [/math]

Ci sei?

L'ho fatto di corsa, il metodo e' giusto, ricontrolla i conti :)

Aggiunto 2 ore 7 minuti più tardi:

Del secondo ti do l'inizio..

Prendi il fascio di rette passanti per il punto, come prima

[math] y-8=m(x-0) \to y=mx+8 [/math]

Metti a sistema con la parabola e trovi il valore (o i valori) di m che annullano il delta..

dimmi se ti riesce e passiamo al terzo

Aggiunto 1 ore 22 minuti più tardi:

Il terzo e' piu' semplice di quanto tu possa pensare.

Sappiamo che

[math] x_V= - \frac{b}{2a} [/math]

e che

[math] y_V=- \frac{\Delta}{4a} [/math]

Sappiamo che TUTTI i punti che giacciono sulla bisettrice del primo e terzo quadrante appartengono alla retta y=x

Ma allora dal momento che il vertice giace su questa retta, sara':

[math] y_V=x_V \to - \frac{\Delta}{4a}=- \frac{b}{2a} \to \frac{\Delta}{2}= b [/math]

E dunque

[math] b^2-4ac=2b [/math]

Sostituendo ad a,b,c i valori del fascio di parabole (ovvero a=a, b=2(a-1) c=1)

avrai

[math] (2(a-1))^2-4a=4(a-1) \to a^2-2a+1-a=a-1 \to a^2-4a+2=0 [/math]

Risolvi l'equazione e sei a posto :)