Parabole e tangenza?

[Saphira_Sev]

Potreste spiegarmi come risolvere questo problema?

" Scrivi le equazioni delle parabole y=ax^2+bx+c, tangenti alle rette 2x+2y+1=0 e 2x-y-8=0 e passanti per il punto O (0,0), e determina la misura della corda intercettata sulla retta di equazione 2x-y-6=0 dalla parabola avente il vertice di ascissa maggiore. "

Grazie

[mc2]

Innanzi tutto le parabole richieste devono passare per l'origine:

[math]c=0[/math]

Parabole tangenti a 2x+2y+1=0:

[math]
\left\{\begin{array}{l}
y=ax^2+bx \\ 2x+2y+1=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]2x+2ax^2+2bx+1=0[/math]

[math]2ax^2+2(b+1)x+1=0[/math]

Questa equazione deve avere soluzioni reali e coincidenti, quindi imponiamo

[math]\Delta=0[/math]

e ricaviamo la prima relazione tra

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

:

[math](b+1)^2-2a=0[/math]

Analogamente con la seconda retta:

[math]
\left\{\begin{array}{l}
y=ax^2+bx \\ 2x-y-8=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]2x-ax^2-bx-8=0[/math]

[math]ax^2+(b-2)x+8=0[/math]

Imponiamo

[math]\Delta=0[/math]

e ricaviamo la seconda relazione:

[math](b-2)^2-32a=0[/math]

Mettiamo a sistema le due relazioni trovate e lo risolviamo, le soluzioni sono

[math]a=\frac{1}{2}~~~~~b=-2[/math]

e

[math]a=\frac{9}{50}~~~~~b=-\frac{2}{5}[/math]

Abbiamo cosi` trovato due parabole:

[math]p_1:~~~~~ y=\frac{x^2}{2}-2x[/math]

e

[math]p_2:~~~~~ y=\frac{9x^2}{50}-\frac{2}{5}x[/math]

La prima parabola ha vertice

[math]V_1=(2,-2)[/math]

, la seconda ha vertice

[math]V_2=\frac{10}{9}[/math]

La parabola con il vertice di ascissa maggiore e` la prima. Calcoliamo le sue intersezioni con la retta 2x-y-6=0 :

[math]
\left\{\begin{array}{l}
y= \frac{x^2}{2}-2x \\ 2x-y-6=0 \end{array}\right.
[/math]

Le soluzioni sono i punti A e B:

[math]A(2,-2)[/math]

,

[math]B=(6,6)[/math]

Il segmento AB e` una corda della parabola e la sua lunghezza e`:

[math]AB=\sqrt{(6-2)^2+(6+2)^2}=4\sqrt{5}[/math]