Parabola passante per due punti
Sto studiando la parabola passante per due punti e non mi fa problemi, però questo esercizio è diverso: mi da un punto per cui passa la parabola A (0; 1) e due rette a cui è tangente la parabola y=-4x e 4x+4y-3=0.... consigli? Son tre giorni che ci sto su ma non riesco a impostarlo.... grazie
Risposte
Se la parabola passa per $A(0,1)$, ha equazione del tipo $y=ax^2+bx+1$.
Se è tangente alla retta $y=-4x$, il sistema
${(y=ax^2+bx+1), (y=-4x):}$
deve avere le due soluzioni coincidenti e quindi il $Delta=0$:
$b^2+8b+16-4a=0$.
Analogamente, se è tangente alla retta $4x+4y-3=0$, il sistema
${(y=ax^2+bx+1), (4x+4y-3=0):}$
deve avere le due soluzioni coincidenti e quindi il $Delta=0$:
$b^2+2b+1-a=0$.
Allora, risolvendo il sistema
${(b^2+8b+16-4a=0), (b^2+2b+1-a=0):}$
si trovano le due parabole cercate e cioè
$y=9x^2+2x+1$
e
$y=x^2-2x+1$.
Se è tangente alla retta $y=-4x$, il sistema
${(y=ax^2+bx+1), (y=-4x):}$
deve avere le due soluzioni coincidenti e quindi il $Delta=0$:
$b^2+8b+16-4a=0$.
Analogamente, se è tangente alla retta $4x+4y-3=0$, il sistema
${(y=ax^2+bx+1), (4x+4y-3=0):}$
deve avere le due soluzioni coincidenti e quindi il $Delta=0$:
$b^2+2b+1-a=0$.
Allora, risolvendo il sistema
${(b^2+8b+16-4a=0), (b^2+2b+1-a=0):}$
si trovano le due parabole cercate e cioè
$y=9x^2+2x+1$
e
$y=x^2-2x+1$.
$y=a x^2+b x+c$
Poiché passa per $A(0,1)$, si ha $1= a*0+b*0+c=> c=1$, quindi $y=a x^2 +b x+1$
Ora sfruttiamo le altre due informazioni:
1) la parabola è tangente alla retta $y= -4 x$
${(y=a x^2 +b x+1),(y= -4 x ):} => -4 x= a x^2 +b x+1 => a x^2 +(b+4)x+1=0 => Delta= (b+4)^2 - 4 a $
2) la parabola è tangente alla retta $y= - x+3/4$
${(y=a x^2 +b x+1),(y= - x +3/4 ):} => -x+3/4 = a x^2 +b x+1 => a x^2 +(b+1) x +1/4=0 => Delta= (b+1)^2-a$
Dunque bisogna risolvere ${((b+4)^2 - 4 a =0),((b+1)^2-a=0):}$
Poiché passa per $A(0,1)$, si ha $1= a*0+b*0+c=> c=1$, quindi $y=a x^2 +b x+1$
Ora sfruttiamo le altre due informazioni:
1) la parabola è tangente alla retta $y= -4 x$
${(y=a x^2 +b x+1),(y= -4 x ):} => -4 x= a x^2 +b x+1 => a x^2 +(b+4)x+1=0 => Delta= (b+4)^2 - 4 a $
2) la parabola è tangente alla retta $y= - x+3/4$
${(y=a x^2 +b x+1),(y= - x +3/4 ):} => -x+3/4 = a x^2 +b x+1 => a x^2 +(b+1) x +1/4=0 => Delta= (b+1)^2-a$
Dunque bisogna risolvere ${((b+4)^2 - 4 a =0),((b+1)^2-a=0):}$
thanks...
Come bisogna muoverci nel caso in cui dovessimo trovale l'equazione della parabola passante per quattro punti?
Questo è un problema perché le parabole del tipo $y= ax^2 +bx+c$ o $x= ay^2+by +c$ sono individuate da 3 punti, mentre quelle il cui asse può essere obliquo rispetto agli assi cartesiani
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 $ è individuata da 5 punti.
Credo che nel problema la presenza del quarto punto ti permetta di individuare se la parabola ha la forma $y= ax^2 +bx+c$ oppure $x= ay^2+by +c$. Una volta stabilita la forma da usare cerca la parabola per 3 punti e poi controlla che anche il quarto vi appartienga.
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 $ è individuata da 5 punti.
Credo che nel problema la presenza del quarto punto ti permetta di individuare se la parabola ha la forma $y= ax^2 +bx+c$ oppure $x= ay^2+by +c$. Una volta stabilita la forma da usare cerca la parabola per 3 punti e poi controlla che anche il quarto vi appartienga.
Per individuare una parabola per quattro punti puoi scrivere l'equazione generale $ (ax+by)^2+cx +dy +e=0 $ e risolvere il sistema che ottieni sostituendo le coordinate dei punti. I parametri incogniti sono cinque, ma quel che conta sono solo i loro rapporti.
Se i punti presentano una simmetria evidente rispetto ad una certa retta il procedimento può essere molto più semplice
Ciao
B.
Se i punti presentano una simmetria evidente rispetto ad una certa retta il procedimento può essere molto più semplice
Ciao
B.
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