Parabola facile

[Jiacomo]

Determina l'equazione della parabola passante per A(1,0) e B(3,0) tale che l'area del quadrilatero avente per vertici i punti A e B, il vertice della parabola stessa e il suo punto di intersezione con l'asse y abbia area 8
Soluzione:y=+\-2(x-1)(x-3)

[mc2]

Parabola generica:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Deve passare per A:

[math]0=a+b+c[/math]

Deve passare per B:

[math]0=9a+3b+c[/math]

Dalla prima condizione:

[math]c=-a-b[/math]

e sostituendo nella seconda:

[math]0=8a+2b[/math]

da cui

[math]b=-4a[/math]

,

[math]c=3a[/math]

L'equazione della parabola ora e`

[math]y=ax^2-4ax+3a[/math]

Il vertice e` il punto

[math]V(2,-a)[/math]

e l'intersezione con l'asse y e` il punto

[math]C(0,3a)[/math]

L'area del quadrilatero si calcola facilmente come somma delle aree dei triangoli ABV e ABC, in cui AB e` la base e le altezze sono, rispettivamente, le ordinate di V e di C (in valore assoluto)

[math]S(ABV)=\frac{1}{2}AB\cdot |y_V|=\frac{1}{2}2\cdot |a|=|a|[/math]

[math]S(ABC)=\frac{1}{2}AB\cdot |y_C|=\frac{1}{2}2\cdot |3a|=3|a|[/math]

Area quadrilatero = 8:

[math]|a|+3|a|=8[/math]

[math]4|a|=8[/math]

[math]|a|=2[/math]

[math]a=\pm 2[/math]

e si trovano due parabole possibili:

[math]y=2x^2-8x+6[/math]

oppure

[math]y=-2x^2+8x-6[/math]