Parabola e tangenti

[Bambolina*14]

Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola $y=2x^2-8x$ e parallela alla retta $y=-2X+3$ indicando con H il punto di tangenza; determinare l'equazione della retta s parallela a r che incontra la parabola in due punti M ed N in modo che MN= $7/sqrt2$ La retta tangente ho pensato di trovarmela tramite la formula di sdoppiamento ma come faccio a trovare H? e poi ho pensato che M ed N abbiano coordinate entrambe $(x;2x^2-8x)$ ed uguarglirlo a $7/sqrt2$ ma non viene..come faccio?

[leena1]

Ragionaci bene, H è il punto di tangenza giusto? Quindi a chi appartiene?

[Bambolina*14]

Alla retta tangente..e quindi anche alla parabola^

[leena1]

Giusto
E come si fa a trovare un punto in comune ad una retta ed ad una parabola?
Te lo ricordi?

[Bambolina*14]

Con il sistema? Eh ma non ho la retta

[leena1]

Si intendevo una volta avuta la retta...
Per quanto riguarda l'equazione della retta tangente, non puoi utlizzare la regola dello sdoppiamento in quanto non conosci H.

Il procedimento è proprio inverso, prima ti calcoli la retta e poi mediante il sistema ti calcoli anche H

Della retta, sai che deve essere parallela a quella data. Che vuol dire? Cosa conosci quindi della retta tangente?

[Bambolina*14]

il coefficiente angolare..

[leena1]

Ok. Allora l'equazione di una generica retta è $y=mx+q$ e la nostra sarà $y=-2x+q$.
Giusto? Fin qui ti trovi?
Adesso sappiamo che questa retta deve essere tangente alla parola.
Questo cosa vuol dire?

[Bambolina*14]

Che il discriminante è uguale a zero..ho fatto e mi esce..Ora per determinare il punti M ed N?

[leena1]

Ok bene

"Bambolina*":ho pensato che M ed N abbiano coordinate entrambe $(x;2x^2-8x)$ ed uguarglirlo a $7/sqrt2$ ma non viene..come faccio?

Ma cosa hai uguagliato a $7/sqrt2$?

[Bambolina*14]

ho pensato di usare la formula della distanza tra M e N e porla uguale a $7/sqrt3$

[leena1]

Allora c'è da fare due chiarimenti:
1. La retta r chi è? Quella che dobbiamo calcolare? O una che abbiamo già calcolato?
2. E' vero che le coordinate sono quelle, ma fa attenzione: la $x$ non è sempre la stessa, cioè ad esempio per N la indichi con $x_1$ e per M la inidichi con $x_2$

[Bambolina*14]

la retta r l'ho già calcolata ed esce y=x+4

[leena1]

Ah ok, nel testo iniziale mancava il riferimento ad r.
Allora dobbiamo calcolare la retta s parallela ad r... Quindi vale lo stesso discorso di prima, che tipo di equazione avrà s?

[Bambolina*14]

avrà y=x+q e metto a sistema con la parabola..però non viene

[leena1]

Aspetta cosa non viene..
I valori che ti escono ora sono le coordinate dei tuoi punti.
Cioè avrai due valori per le ascisse e i corrispondenti valori delle ordinate, che rappresentano i tuoi due punti in funzione del tuo parametro $q$.
Ora devi utilizzare la formula della distanza tra due punti ed uguagliarla a quella quantità.

[Bambolina*14]

Non esce il parametro q esatto perchè facendo il sistema mi viene un numero indivisibile e non viene giusto

[leena1]

Scrivimi i valori precisi che ti escono ...
Se la $q$ si trova sotto la radice lasciala così...

[Bambolina*14]

Allora $y=x+q$ messo a sistema con $y=2x^2-8x$ e alla fine mi esce $x=9/8+- sqrt49/8+8q / 8 $

[Bambolina*14]

Allora $y=x+q$ messo a sistema con $y=2x^2-8x$ e alla fine mi esce $x=9/8+- sqrt49/8+8q / 8 $

[leena1]

"Bambolina*":Allora $y=x+q$ messo a sistema con $y=2x^2-8x$ $

OK hai fatto bene, ma non mi trovo con i tuoi risultati.
Vediamo insieme, indico il nostro parametro con $k$ in modo che non si confonde $q$ con il numero 9 (a volte succede):

$\{(y=x+k),(y=2x^2-8x):}$

cioè si ha:

$\{(y=x+k),(2x^2-8x=x+k):}$

infine:

$\{(y=x+k),(2x^2-9x-k=0):}$

e quindi dobbiamo risolvere:

$2x^2-9x-k=0$

e si ha:

$x_1=(9-sqrt(81+8k))/4$ e $x_2=(9+sqrt(81+8k))/4$

Ti trovi con me o no?