Parabola e circonferenza T.T ?

[Saphira_Sev]

Potreste spiegarmi come risolvere questo problema di matematica?

"Data la parabola y=-4/3x^2+1/3x+1 e la circonferenza x^2+y^2-1/4x-1/4y-3/4=0, trova la retta y=k che interseca la parabola in D ed E e la circonferenza in F e G in modo che: 11/5 DE^2 + FG^2 = 6."

[rossiandrea]

Ciao,
ho pensato che si potrebbe risolvere nel seguente modo.
La retta che taglia la parabola e la circonferenza è orizzontale e quindi le coordinate di D ed E sono del tipo: D=(x,k); E=(x+a,k). a è la lunghezza del segmento DE.
A questo punto

[math] - \frac{4}{3}x^2+\frac{1}{3}x+1=- \frac{4}{3}(x+a)^2+\frac{1}{3}(x+a)+1\\
0=- \frac{8}{3}ax- \frac{4}{3}a^2+ \frac{1}{3}a \\
4a^2+8ax-a=0 \\
a(4a+8x-1)=0 \\[/math]

a dev'essere diverso da 0 perché stiamo cercando la lunghezza DE diversa da zero, quindi:

[math]4a+8x-1=0 \\
a=\frac{1}{4}-2x \\[/math]

Faccio lo stesso procedimento con la circonferenza. F=(x,k); G=(x+b,k). b=FG

[math]x^2+y^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}=(x+b)^2+y^2-\frac{1}{4}(x+b)-\frac{1}{4}y-\frac{3}{4} \\
0=2bx+b^2-\frac{1}{4}b \\
b(b+2x-\frac{1}{4})=0 \\
b \neq 0 \\
b+2x-\frac{1}{4}=0 \\
b=\frac{1}{4} - 2x = a \\

\frac{11}{5}a^2+a^2=6 \\
\frac{16}{5}a^2=6 \\
a= \frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}}{4} \\
[/math]

(Ho preso solo la soluzione positiva perché ci interessa la lunghezza positiva.)

[math]a=\frac{1}{4} - 2x \\
2x= \frac{1}{4} - a \\
x=\frac{1-4a}{8}=\frac{1-\sqrt{30}}{8} \\
[/math]

Sostituisco in un'equazione. Scelgo la parabola.

[math]y= - \frac{4}{3}(\frac{1-\sqrt{30}}{8})^2+\frac{1}{3}(\frac{1-\sqrt{30}}{8})+1 \\
y= - \frac{4}{3}(\frac{1-2\sqrt{30}+30}{64})+\frac{1-\sqrt{30}}{24}+1 \\
y= \frac{-1+2\sqrt{30}-30+2-2\sqrt{30}+48}{48}= \\
y=\frac{19}{48}
[/math]

Ecco la retta! :-p

[mc2]

Scusa rossiandrea,
ma la soluzione che proponi non mi sembra corretta.

Hai intersecato parabola e circonferenza con delle rette orizzontali (y=costante), ma non c'e` nulla nel tuo procedimento che garantisca che la y sia la stessa per entrambe!

Infatti sostituendo la x trovata

[math](1-\sqrt{30})/8[/math]

nell'equazione della circonferenza si ottiene un valore di y diverso da 19/48

Aggiunto 17 minuti più tardi:

Il modo corretto di risolvere il problema e` di calcolare le intersezioni di entrambe le curve con la retta y=k.

Per la parabola:

[math]k=-\frac{4}{3}x^2+\frac{1}{3}x+1[/math]

[math]4x^2-x+3(k-1)=0[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{49-48k}}{8}[/math]

Queste sono le ascisse di D ed E, la lunghezza del segmento e`

[math]DE=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{49-48k}}{4}[/math]

Per la circonferenza:

[math]x^2+k^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}k-\frac{3}{4}=0[/math]

[math]4x^2-x+4k^2-k-3=0[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{49+16k-64k^2}}{8}[/math]

[math]FG=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{49+16k-64k^2}}{4}[/math]

Ora:

[math]\frac{11}{5}DE^2+FG^2=6[/math]

[math]\frac{11}{5}\frac{{49-48k}}{16}+\frac{{49+16k-64k^2}}{16}=6[/math]

Con qualche calcolo si ottiene:

[math]20k^2+28k-19=0[/math]

[math]k_{1,2}=\frac{-14\pm 24}{20}[/math]

[math]k_1=\frac{1}{2}[/math]

[math]k_2=-\frac{19}{10}[/math]

non accettabile


La retta richiesta e` y=1/2

Aggiunto 1 ora 53 minuti più tardi:

Aggiungo una considerazione, per maggior chiarezza:

Quando si scrive

[math]DE=\frac{\sqrt{49-48k}}{4}[/math]

bisogna imporre la condizione di realta` della radice:

[math]49-48k\ge 0[/math]

cioe`

[math]k\le\frac{49}{48}[/math]

Analogamente per

[math]FG=\frac{\sqrt{49+16k-64k^2}}{4}[/math]

bisogna imporre

[math]49+16k-64k^2\ge 0[/math]

[math]64k^2-16k-49\le 0[/math]

(le radici sono

[math]k=\frac{1\pm 5\sqrt{2}}{8}[/math]

)

[math]\frac{1-5\sqrt{2}}{8}\le k\le \frac{1+5\sqrt{2}}{8}[/math]

Alla fine bisogna controllare che le soluzioni trovate soddisfino queste condizioni: per questa ragione solo

[math]k=\frac{1}{2}[/math]

e` accettabile, l'altra soluzione

[math]k=-\frac{19}{10}[/math]

non lo e` perche' rende immaginario il secondo radicale.

[rossiandrea]

Grazie mc2 e scusa Saphira_Sev!
In pratica il valore 'a' che ho trovato indica una lunghezza qualsiasi tra due punti della parabola con la stessa y; 'b' indica una lunghezza qualsiasi tra due punti della circonferenza con la stessa y.
Ora, il fatto che, per caso (ed è questo che mi ha ingannato), a e b risultavano uguali alla stessa espressione, giustamente non significa che la y sia la stessa, ma vuol dire semplicemente che la lunghezza di a e di b è la stessa.
Ho capito bene, mc2?

[mc2]

a e b non sono la stessa lunghezza.

Nei tuoi calcoli entrambi vengono uguali a

[math]\frac{1}{4}-2x[/math]

ma le x nei due casi sono diverse!


In altre parole, bisognerebbe distinguere le x:

per la parabola si trova

[math]a=\frac{1}{4}-2x_{par}[/math]

per la circonferenza si trova

[math]b=\frac{1}{4}-2x_{circ}[/math]

Poi bisogna imporre una condizione affinche`

[math]x_{par}[/math]

e

[math]x_{circ}[/math]

abbiano la stessa y sulle rispettive curve.


E` facilissimo vederlo se fai il grafico: vedrai che non e` possibile che una retta y=k tagli sulle due curve corde uguali!

[rossiandrea]

OK, grazie mille. Ora credo di aver capito.
Ma quindi il fatto che siano uguali non significa niente o significa qualche cosa?

[mc2]

Intendi dire che sono uguali "formalmente" le due espressioni

[math]a=\frac{1}{4}-2x_D[/math]

,

[math]b=\frac{1}{4}-2x_F[/math]

?

E` un caso particolare di questo esercizio, perche' la parabola e la circonferenza hanno un comune asse di simmetria:

[math]x=\frac{1}{8}[/math]

e quando le tagli con una retta orizzontale trovi in entrambi i casi delle intersezioni con ascisse:

[math]x_{1,2}=\frac{1}{8}\pm\sqrt{\dots}[/math]

per cui una corda risulta lunga

[math]a=|x_2-x_1]=|2\sqrt{\dots}|[/math]

cioe`

[math]a=|2x_1-\frac{1}{4}|[/math]

Se, ad esempio, la parabola fosse stata

[math]y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{2}{3}x+1[/math]

con il tuo procedimento avresti trovato:

[math]a=\frac{1}{2}+2x[/math]

Morale della favola: e` sempre meglio fare il grafico! aiuta ad evitare trappole!

[rossiandrea]

Sì, proprio quello intendevo.
Ora mi è chiaro.
Grazie mille mc2!!! :-)