Parabola (61984)

[cosimomv94]

Un aiuto !! :)
Scrive l'equazione della parabola passante per il punto A(1;-2), con l'asse de equazione X=2 e il vertice appartenente alla retta di equazione x+2y+4=0.
un altro problma :)
deteremina l'equazione della parabola con asse di equazione x=1/2 e passante per i punti di intersezione della retta di equazione Y=-2x+6 con gli assi cartesiani.
Grazie in anticipo :)

Aggiunto 1 giorni più tardi:

grazie mille !! :)

[BIT5]

Dobbiamo trovare i parametri a,b,c della parabola

[math] y=ax^2+bx+c [/math]

L'asse (di simmetria) ha equazione

[math] x=- \frac{b}{2a} [/math]

Pertanto essendo l'asse x=2 avremo come prima informazione che

[math] - \frac{b}{2a} = 2 [/math]

Inoltre la parabola passa per il punto A, che pertanto ne soddisfa l'equazione.

Quindi sostituendo all'equazione della parabola le coordinate del punto avremo

[math] -2=a1^2+b1+c \to -2=a+b+c [/math]

Siccome devono essere verificate ENTRAMBE le condizioni, avremo un sistema:

[math] \{- \frac{b}{2a}=2 \\ -2=a+b+c [/math]

Dalla prima ricaviamo (con a diverso da zero)

[math]-b=4a \to b=-4a [/math]

Che sostituito alla seconda eq. dara'

[math] -2=a-4a+c \to -2=-3a+c \to a= \frac{2+c}{3} [/math]

Che risostituito alla prima equazione dara'

[math] b=- \frac{2+c}{3} [/math]

La parabola sara' dunque della forma:

[math] y= \frac{2+c}{3}x^2- \frac{2+c}{3}x+c [/math]

Il vertice appartiene alla retta data.

Le coordinate del vertice sono

[math] V \( - \frac{b}{2a} , - \frac{\Delta}{4a} \) [/math]

E siccome -b/2a = 2 (asse) avremo

[math] x_V=2 \\ \\ \\ y_V=- \frac{\Delta}{4a} [/math]

Queste due coordinate dovranno soddisfare l'equazione della retta (appartengono alla retta) quindi

[math] 2+2 \( -\frac{\Delta}{4a} \)+4=0 [/math]

Ovvero

[math] 2+2 \(- \frac{b^2-4ac}{4a} \)+4=0 [/math]

Sostituisci a b e ad a i valori trovati in funzione di c, risolvi l'equazione e trovi c. A quel punto puoi trovare a e b che abbiamo espresso in funzione di c

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Per il secondo, trovi i punti di intersezione:

ASSE Y (x=0) quindi y=6 (il punto sara' (0,6) )

ASSE X: y=0 quindi 0=-2x+6 da cui 2x=6 e quindi x=3. Il punto sara' (3,0)

Le tre equazioni del sistema saranno:

ASSE DELLA PARABOLA:

[math] - \frac{b}{2a}= \frac12 [/math]

Passaggio per il punto (0,6) quindi

[math] 6=a0^2+b0+c \to c=6 [/math]

Passaggio per il punto (3,0) quindi

[math] 0=a3^2+b3+c \to 9a+3b+c=0 [/math]

Quindi dovrai risolvere, in sintesi, il sistema:

[math] \{- \frac{b}{2a}= \frac12 \\ c=6 \\ 9a+3b+c=0 [/math]

Se hai dubbi chiedi :)