Parabola
Mi aiutate a risolvere questi esercizi?
1)Scrivere l'equazione x=ay^2+c della parabola C1 che nel punto A(3;2) è tangente ad una retta perpendicolare alla retta x-y=0. Determinare le coordinate del punto B in cui la normale in A a C incontra ulteriormente la parabola e trovare sull'arco AB di C un punto P in modo che l'area del triangolo PAB sia 16.
2) Disegnare le curve rappresentate dai seguenti grafici:
|x|=Y^2+1
x=2-rad2(y-1)
|x|+|y|=y^2
1)Scrivere l'equazione x=ay^2+c della parabola C1 che nel punto A(3;2) è tangente ad una retta perpendicolare alla retta x-y=0. Determinare le coordinate del punto B in cui la normale in A a C incontra ulteriormente la parabola e trovare sull'arco AB di C un punto P in modo che l'area del triangolo PAB sia 16.
2) Disegnare le curve rappresentate dai seguenti grafici:
|x|=Y^2+1
x=2-rad2(y-1)
|x|+|y|=y^2
Risposte
per il secondo esercizio chiedi a camillo; per quanto riguarda il primo, il procedimento corretto è questo: sai che la parabola con asse parallelo all'asse x passa per A(3;2) e tocca in un solo punto la retta x-y=0, che esplicitandola diventerebbe y=x ovvero la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Vista l'equazione della retta, i calcoli si semplificano molto:
dunque, avendo questi dati iniziali, prima di tutto devi ottenere il DELTA, e per farlo metti a sistema la retta y=x con l'equazione generica della parabola x=ay^2+c dopodiché usando il metodo della sostituzione poni x al posto di y nell'eq. della parabola e porta tutto al primo membro in modo che al secondo membro ci sia solo 0. Ora fai b^2-4ac (il DELTA), dove a e b sono rispettivamente i coefficienti della y di primo e di secondo grado, mentre c è il termine noto, ed eguaglialo a 0. Per trovare l'eq. della parabola devi impostare il sistema in cui compaiono: 1) l'equazione x=ay^2+c con al posto di x ed y rispettivamente 3 e 2; 2) siccome la parabola è tangente alla retta y=x, la seconda equazione del sistema è la cosiddetta "condizione di tangenza", ovvero DELTA=0, che hai trovato in precedenza. Le incognite da trovare sono 2, ossia a e c. Trovata l'equazione della parabola, ti si chiede di calcolare il punto B. Sai che è dato dall'intersezione della normale in A con la parabola, e visto che il coefficiente angolare dev'essere l'inverso dell'opposto di quello di y=x, il nuovo coefficiente sarà -1. Applica la formula y-2=-1(x-3), e con questa hai l'equazione della normale. Metti a sistema la normale con la parabola e trovi il punto B. Ora per trovare il punto P, semplificando, sai che il prodotto della base per l'altezza del triangolo dev'essere 32. Dunque siccome P appartiene alla parabola, le sue coordinate incognite saranno (secondo membro equazione parabola; y). Trova la misura della corda AB con la formula della distanza tra 2 punti e una volta trovata, trova anche la sua equazione con la formula (x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA). Trova l'altezza del triangolo dividendo 32 per la misura di AB. Trovata l'altezza, ora devi trovare i punti della parabola che distano la misura dell'altezza dalla retta AB applicando la formula distanza punto-retta, sempre come ti ho detto prima, con P che ha coordinate (secondo membro equazione parabola; y). Con la formula distanza punto-retta (ti consiglio di usare quella esplicita, spero tu sappia quale sia perché non posso scrivertela dettagliatamente qui sul forum) ti potrai trovare l'ordinata di P. Andando poi a sostituire l'ordinata appena trovata nell'equazione della parabola, trovi l'ascissa di P e l'esercizio è risolto. Spero di esserti stato chiaro, altrimenti riscrivimi.
ciao
fireball
dunque, avendo questi dati iniziali, prima di tutto devi ottenere il DELTA, e per farlo metti a sistema la retta y=x con l'equazione generica della parabola x=ay^2+c dopodiché usando il metodo della sostituzione poni x al posto di y nell'eq. della parabola e porta tutto al primo membro in modo che al secondo membro ci sia solo 0. Ora fai b^2-4ac (il DELTA), dove a e b sono rispettivamente i coefficienti della y di primo e di secondo grado, mentre c è il termine noto, ed eguaglialo a 0. Per trovare l'eq. della parabola devi impostare il sistema in cui compaiono: 1) l'equazione x=ay^2+c con al posto di x ed y rispettivamente 3 e 2; 2) siccome la parabola è tangente alla retta y=x, la seconda equazione del sistema è la cosiddetta "condizione di tangenza", ovvero DELTA=0, che hai trovato in precedenza. Le incognite da trovare sono 2, ossia a e c. Trovata l'equazione della parabola, ti si chiede di calcolare il punto B. Sai che è dato dall'intersezione della normale in A con la parabola, e visto che il coefficiente angolare dev'essere l'inverso dell'opposto di quello di y=x, il nuovo coefficiente sarà -1. Applica la formula y-2=-1(x-3), e con questa hai l'equazione della normale. Metti a sistema la normale con la parabola e trovi il punto B. Ora per trovare il punto P, semplificando, sai che il prodotto della base per l'altezza del triangolo dev'essere 32. Dunque siccome P appartiene alla parabola, le sue coordinate incognite saranno (secondo membro equazione parabola; y). Trova la misura della corda AB con la formula della distanza tra 2 punti e una volta trovata, trova anche la sua equazione con la formula (x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA). Trova l'altezza del triangolo dividendo 32 per la misura di AB. Trovata l'altezza, ora devi trovare i punti della parabola che distano la misura dell'altezza dalla retta AB applicando la formula distanza punto-retta, sempre come ti ho detto prima, con P che ha coordinate (secondo membro equazione parabola; y). Con la formula distanza punto-retta (ti consiglio di usare quella esplicita, spero tu sappia quale sia perché non posso scrivertela dettagliatamente qui sul forum) ti potrai trovare l'ordinata di P. Andando poi a sostituire l'ordinata appena trovata nell'equazione della parabola, trovi l'ascissa di P e l'esercizio è risolto. Spero di esserti stato chiaro, altrimenti riscrivimi.
ciao
fireball
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo