Ottaedro

[LoreVa1]

Determinare il lato del cubo avente per vertici i centri delle facce di un ottaedro regolare avente spigolo l.

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[mgrau]

Direi che la diagonale di una faccia del cubo è metà dello spigolo dell'ottaedro... così a braccio, senza fare disegni.
Vedi se ti ci ritrovi.
(Però questo mi sembra parecchio più ostico dell'altro problema che hai messo)

[LoreVa1]

"mgrau":Direi che la diagonale di una faccia del cubo è metà dello spigolo dell'ottaedro... così a braccio, senza fare disegni.
Vedi se ti ci ritrovi.
(Però questo mi sembra parecchio più ostico dell'altro problema che hai messo)

Non credo sia corretto.
La diagonale di una faccia del cubo sarebbe $sqrt(2)$x con x la nostra incognita
Quindi $sqrt(2)$x= l/2

x= (l/2)/$sqrt(2)$ = $sqrt(2)$/4

mentre il risultato corretto è $sqrt(2)$$/3$ l

[mgrau]

Giusto, avevo pensato - erroneamente - che il centro delle facce triangolari fosse a metà altezza, invece è a 1/3

[LoreVa1]

"mgrau":Giusto, avevo pensato - erroneamente - che il centro delle facce triangolari fosse a metà altezza, invece è a 1/3

Quindi x$sqrt(2)$ =l/3
x= $l/3$/$sqrt(2)$?
x= $sqrt(2)$/6

?

[mgrau]

"LoreVa":
Quindi x$sqrt(2)$ =l/3
x= $l/3$/$sqrt(2)$?
x= $sqrt(2)$/6

?

No, è x$sqrt(2) =l2/3$

[LoreVa1]

"mgrau":[quote="LoreVa"]
Quindi x$sqrt(2)$ =l/3
x= $l/3$/$sqrt(2)$?
x= $sqrt(2)$/6

?

No, è x$sqrt(2) =l2/3$[/quote]


Ok grazie, ma in che modo si può giustificare questa relazione tra diagonale e spigolo?

[mgrau]

Si fa un po' fatica a spiegare a parole. Proviamo.
L'ottaedro è formato da due piramidi a base quadrata, con facce formate da triangoli equilateri.
Prendi la piramide di sopra. Il centro di una faccia sta sull'altezza del triangolo, a 1/3 dalla base e 2/3 dal vertice.
Se consideri il centro della faccia opposta, i due centri sono due vertici del cubo, e stanno agli estremi di una diagonale di un quadrato.
Se guardi le due facce di fianco, vedi che formano un triangolo (isoscele, non equilatero, più basso), che ha come base un lato dell'ottaedro. I centri delle due facce, viste di fianco, stanno a 2/3 della lunghezza dei lati, contando dal vertice. La linea che li unisce (la diagonale della faccia del cubo) è pure 2/3 della base (triangoli simili), da cui il risultato cercato.

[LoreVa1]

"mgrau":Si fa un po' fatica a spiegare a parole. Proviamo.
L'ottaedro è formato da due piramidi a base quadrata, con facce formate da triangoli equilateri.
Prendi la piramide di sopra. Il centro di una faccia sta sull'altezza del triangolo, a 1/3 dalla base e 2/3 dal vertice.
Se consideri il centro della faccia opposta, i due centri sono due vertici del cubo, e stanno agli estremi di una diagonale di un quadrato.
Se guardi le due facce di fianco, vedi che formano un triangolo (isoscele, non equilatero, più basso), che ha come base un lato dell'ottaedro. I centri delle due facce, viste di fianco, stanno a 2/3 della lunghezza dei lati, contando dal vertice. La linea che li unisce (la diagonale della faccia del cubo) è pure 2/3 della base (triangoli simili), da cui il risultato cercato.

Ok grazie