Osservazioni sul teorema di esistenza degli zeri
Ciò che andrò ad esporre, è un'idea che mi è sovvenuta in un momento di studio matematico e che ha suscitato in me perplessità e dubbi che mi piacerebbe chiarire con il vostro aiuto. Chiedo preventivamente venia qualora le mie osservazioni risultassero, a mia involontaria insaputa, inutili ai fini pratici, inconcludenti da ogni punto di vista oppure semplicemente minestra riscaldata.
Passiamo ora al concreto: sia data una funzione $y=x^5-x^4-3$ di cui non si conosce il grafico e si vogliano ricavare i suoi punti di intersezione con l'asse delle $x$. L'equazione che ne risulta, $x^5-x^4-3=0$, è praticamente impossbile da scomporre con Ruffini (ho sostituito ad $x$ numeri a random con sei cifre decimali che mi hanno dato risultati prossimi allo zero, nell'ordine di $10^-5$, ma non pari ad esso). Mi sono domandato a questo punto se non ci fosse un metodo un po' più rapido per trovare le soluzioni, o quantomeno per restringere il campo ad un intervallo minuscolo nel quale poter operare; ho ergo concluso che mediante l'applicazione del teorema degli zeri ad un intervallo ristretto avrei potuto dedurre se all'interno di tale intervallo ci fossero delle soluzioni (sono arrivato ad affermare che certamente tra $3/2$ e $201/128$ c'è una soluzione: infatti sostituendo il valore del primo estremo nell'equazione ottengo un numero negativo mentre uno positivo per il secondo estremo). A questo punto mi sono tuttavia reso conto che la mia deduzione (o minestra riscaldata che sia) a quasi nulla serve, poiché infatti tra $3/2$ e $201/128$ ci sono comunque infiniti numeri reali, e pertanto sarebbe necessario un tempo infinito per poterli provare tutti.
Ciò che mi domando è: il mio ragionamento è totalmente da buttare? C'è qualche regola o qualche teorema, magari di livello universitario, che possa ausiliarmi? Oppure non c'è nulla da fare?
Grazie a tutti in anticipo
Daniele
Passiamo ora al concreto: sia data una funzione $y=x^5-x^4-3$ di cui non si conosce il grafico e si vogliano ricavare i suoi punti di intersezione con l'asse delle $x$. L'equazione che ne risulta, $x^5-x^4-3=0$, è praticamente impossbile da scomporre con Ruffini (ho sostituito ad $x$ numeri a random con sei cifre decimali che mi hanno dato risultati prossimi allo zero, nell'ordine di $10^-5$, ma non pari ad esso). Mi sono domandato a questo punto se non ci fosse un metodo un po' più rapido per trovare le soluzioni, o quantomeno per restringere il campo ad un intervallo minuscolo nel quale poter operare; ho ergo concluso che mediante l'applicazione del teorema degli zeri ad un intervallo ristretto avrei potuto dedurre se all'interno di tale intervallo ci fossero delle soluzioni (sono arrivato ad affermare che certamente tra $3/2$ e $201/128$ c'è una soluzione: infatti sostituendo il valore del primo estremo nell'equazione ottengo un numero negativo mentre uno positivo per il secondo estremo). A questo punto mi sono tuttavia reso conto che la mia deduzione (o minestra riscaldata che sia) a quasi nulla serve, poiché infatti tra $3/2$ e $201/128$ ci sono comunque infiniti numeri reali, e pertanto sarebbe necessario un tempo infinito per poterli provare tutti.
Ciò che mi domando è: il mio ragionamento è totalmente da buttare? C'è qualche regola o qualche teorema, magari di livello universitario, che possa ausiliarmi? Oppure non c'è nulla da fare?
Grazie a tutti in anticipo
Daniele
Risposte
Ti stai ponendo un problema di calcolo numerico: non è possibile risolvere una equazione con metodi esatti, quindi ci si mette nell'ottica di approssimarne la soluzione con un grado di precisione arbitrario. (*)
Quello che stai intuendo è un metodo classico, detto di bisezione, te lo espongo per grandi linee. Se vogliamo approssimare una soluzione di
$f(x)=0$,
sappiamo che $f$ è continua, e per qualche motivo sappiamo che $f(x_0)$ ed $f(x_1$ hanno segni opposti, allora una soluzione cade tra $x_0$ e $x_1$. Perciò controlliamo quello che succede in $\frac{x_0+x_1}{2}$: se $f(x_0)$ e $f(\frac{x_0+x_1}{2})$ cambiano segno, allora una soluzione cade tra $x_0$ e $\frac{x_0+x_1}{2}$, e abbiamo dimezzato l'ampiezza dell'intervallo di incertezza. Si può procedere così ad libitum, ottenendo approssimazioni sempre migliori.
_________
(*) Anche quando si risolve una equazione in aritmetica esatta (si dice così in gergo), molto spesso nelle applicazioni sarà comunque richiesta una approssimazione: se stai calcolando quanto filo ti servirà per avvolgere un bicchiere di diametro $1$ cm, come farai a tagliare $pi$ centimetri di filo? Ne taglierai $3$ centimetri e $1$ millimetro.
Quello che stai intuendo è un metodo classico, detto di bisezione, te lo espongo per grandi linee. Se vogliamo approssimare una soluzione di
$f(x)=0$,
sappiamo che $f$ è continua, e per qualche motivo sappiamo che $f(x_0)$ ed $f(x_1$ hanno segni opposti, allora una soluzione cade tra $x_0$ e $x_1$. Perciò controlliamo quello che succede in $\frac{x_0+x_1}{2}$: se $f(x_0)$ e $f(\frac{x_0+x_1}{2})$ cambiano segno, allora una soluzione cade tra $x_0$ e $\frac{x_0+x_1}{2}$, e abbiamo dimezzato l'ampiezza dell'intervallo di incertezza. Si può procedere così ad libitum, ottenendo approssimazioni sempre migliori.
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(*) Anche quando si risolve una equazione in aritmetica esatta (si dice così in gergo), molto spesso nelle applicazioni sarà comunque richiesta una approssimazione: se stai calcolando quanto filo ti servirà per avvolgere un bicchiere di diametro $1$ cm, come farai a tagliare $pi$ centimetri di filo? Ne taglierai $3$ centimetri e $1$ millimetro.
Pertanto sarebbe quindi come calcolare qual è il valore a cui tende $x$ se il limite della funzione è 0 ($lim_(x->?)f(x)=0$)? Quindi questo è un campo di sostanziale incertezza, dove è possibile soltanto avvicinarsi alla soluzione (a meno che si ottenga fortunatamente il valore esatto, anche con un indefinito numero di cifre decimali)...
Grazie dissonance, sei stato molto preciso e hai colto immediatamente la mia perplessità.
Grazie dissonance, sei stato molto preciso e hai colto immediatamente la mia perplessità.
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