Ordine di grandezza
secondo quanto scritto qui:
https://ibb.co/n1pZsLK
l'ordine di grandezza di $4,7 * 10^3$ è $10^4$
è giusto?
il mio dubbio nasce dal fatto che poi si entrerebbe in contraddizione con la definizione di ordine di grandezza quale potenza di 10 più vicina al numero. mi aiutate a capire, grazie
https://ibb.co/n1pZsLK
l'ordine di grandezza di $4,7 * 10^3$ è $10^4$
è giusto?
il mio dubbio nasce dal fatto che poi si entrerebbe in contraddizione con la definizione di ordine di grandezza quale potenza di 10 più vicina al numero. mi aiutate a capire, grazie
Risposte
"lasy":
secondo quanto scritto qui:
https://ibb.co/n1pZsLK
l'ordine di grandezza di $4,7 * 10^3$ è $10^4$
è giusto?
il mio dubbio nasce dal fatto che poi si entrerebbe in contraddizione con la definizione di ordine di grandezza quale potenza di 10 più vicina al numero. mi aiutate a capire, grazie
"Più vicina" non ha un significato univoco... dipende se intendi come differenza, o come rapporto. Per es., 4 dista 3 da 1 e 6 da 10, come differenza, quindi sarebbe più vicino a 1.
Ma come rapporto, è 4 volte più grande di 1, e 2,5 volte più piccolo di 10, quindi in questo senso è più vicino a 10.
I libri di testo delle superiori che ho visto sono estremamente reticenti su questo punto, e non ho mai trovato esempi che permettessero di decidere fra i due criteri. Personalmente, per quel che vale, trovo più sensato il criterio del rapporto, per cui appunto l'ordine di grandezza di 4.7 è 10 e non 1.
Non tutti i testi concordano sulla definizione di ordine di grandezza, ma non ho mai visto usare il criterio del rapporto di mgrau; credo che sia perché richiede calcoli non immediati. Il criterio che preferisco (e che mi sembra lo stesso del riferimento, che non leggo bene) è il seguente:
dopo aver scritto il numero nella forma $a*10^n$ (con $1<=a<10$), se $a<5$ l'ordine di grandezza è $10^n$, altrimenti è $10^(n+1)$.
Quindi nell'esempio fatto la risposta è $10^3$
dopo aver scritto il numero nella forma $a*10^n$ (con $1<=a<10$), se $a<5$ l'ordine di grandezza è $10^n$, altrimenti è $10^(n+1)$.
Quindi nell'esempio fatto la risposta è $10^3$
"giammaria":
Non tutti i testi concordano sulla definizione di ordine di grandezza, ma non ho mai visto usare il criterio del rapporto di mgrau; credo che sia perché richiede calcoli non immediati. Il criterio che preferisco (e che mi sembra lo stesso del riferimento, che non leggo bene) è il seguente:
dopo aver scritto il numero nella forma $a*10^n$ (con $1<=a<10$), se $a<5$ l'ordine di grandezza è $10^n$, altrimenti è $10^(n+1)$.
Quindi nell'esempio fatto la risposta è $10^3$
anch'io direi $10^3$, ma il libro dice di scrivere il numero approssimando alla parte intera. Dunque $4,6$ diventerebbe $5$ e così di conseguenza $5 * 10^3$ avrebbe ordine di grandezza $10^4$
"mgrau":
[quote="lasy"]secondo quanto scritto qui:
https://ibb.co/n1pZsLK
l'ordine di grandezza di $4,7 * 10^3$ è $10^4$
è giusto?
il mio dubbio nasce dal fatto che poi si entrerebbe in contraddizione con la definizione di ordine di grandezza quale potenza di 10 più vicina al numero. mi aiutate a capire, grazie
"Più vicina" non ha un significato univoco... dipende se intendi come differenza, o come rapporto. Per es., 4 dista 3 da 1 e 6 da 10, come differenza, quindi sarebbe più vicino a 1.
Ma come rapporto, è 4 volte più grande di 1, e 2,5 volte più piccolo di 10, quindi in questo senso è più vicino a 10.
I libri di testo delle superiori che ho visto sono estremamente reticenti su questo punto, e non ho mai trovato esempi che permettessero di decidere fra i due criteri. Personalmente, per quel che vale, trovo più sensato il criterio del rapporto, per cui appunto l'ordine di grandezza di 4.7 è 10 e non 1.[/quote]
sì, interessante!! ma non è quello di cui si parla nel libro...
"lasy":
secondo quanto scritto qui:
https://ibb.co/n1pZsLK
l'ordine di grandezza di $4,7 * 10^3$ è $10^4$
è giusto?
il mio dubbio nasce dal fatto che poi si entrerebbe in contraddizione con la definizione di ordine di grandezza quale potenza di 10 più vicina al numero. mi aiutate a capire, grazie
Il libro che citi (insieme a qualche libro di matematica di nuova edizione), senza dirlo, usa la definizione di ordine di grandezza usata più spesso nella "tradizione" anglosassone (l'ho vista però solo in testi di Fisica di livello universitario o preparatori per l'università oppure in qualche testo di Physics HL per l'IBO...mai a livello gcse, igcse o A levels...), che fa riferimento alla rappresentazione dei numeri come potenze di 10, in sostanza l'ordine di grandezza di un numero è l'arrotondamento all'intero più vicino del logaritmo in base 10 del numero...da questo punto di vista a "metà strada" tra $1=10^0$ e $10=10^1$ c'è $10^{0.5}=10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}\approx 3.162$ (invece di (1+10)/2=5.5, o ancora più grossolanamente, come si fa di solito, 5). Trovi maggiori dettagli qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_magnitude
"lasy":
il libro dice di scrivere il numero approssimando alla parte intera.
Ni, il libro che citi pasticcia...dice "parte intera" ma poi precisa (seconda riga del box): "se la prima cifra decimale è 0, 1, 2, 3 o 4 allora si scrive la sua parte intera, se la prima cifra decimale è 5, 6, 7, 8, 9 si scrive la parte intera più uno"...insomma fa un ibrido, abbastanza orrido (visto anche come conclude nella terza parte del box)...
quindi $4,6\cdot 10^3$ per lui si "arrotonda" a $5\cdot 10^3$ "quindi" ordine di grandezza $10^4$.
La "parte intera" di $4,6$ (di solito), in matematica, è $4$ (e, in genere, si scrive $[4,6]=4$) mentre $5$ è il suo arrotondamento (per eccesso).
A questo punto dubito che l'autore avesse in mente i logaritmi...
"alessio76":
[quote="lasy"] il libro dice di scrivere il numero approssimando alla parte intera.
Ni, il libro che citi pasticcia...dice "parte intera" ma poi precisa (seconda riga del box): "se la prima cifra decimale è 0, 1, 2, 3 o 4 allora si scrive la sua parte intera, se la prima cifra decimale è 5, 6, 7, 8, 9 si scrive la parte intera più uno"...insomma fa un ibrido, abbastanza orrido (visto anche come conclude nella terza parte del box)...
quindi $4,6\cdot 10^3$ per lui si "arrotonda" a $5\cdot 10^3$ "quindi" ordine di grandezza $10^4$.
La "parte intera" di $4,6$ (di solito), in matematica, è $4$ (e, in genere, si scrive $[4,6]=4$) mentre $5$ è il suo arrotondamento (per eccesso).
A questo punto dubito che l'autore avesse in mente i logaritmi...[/quote]
ho pensato la stessa cosa, avrebbe dovuto dire di fare riferimento alla sola parte intera, senza l'arrotondamento
"lasy":
[quote="alessio76"][quote="lasy"] il libro dice di scrivere il numero approssimando alla parte intera.
Ni, il libro che citi pasticcia...dice "parte intera" ma poi precisa (seconda riga del box): "se la prima cifra decimale è 0, 1, 2, 3 o 4 allora si scrive la sua parte intera, se la prima cifra decimale è 5, 6, 7, 8, 9 si scrive la parte intera più uno"...insomma fa un ibrido, abbastanza orrido (visto anche come conclude nella terza parte del box)...
quindi $4,6\cdot 10^3$ per lui si "arrotonda" a $5\cdot 10^3$ "quindi" ordine di grandezza $10^4$.
La "parte intera" di $4,6$ (di solito), in matematica, è $4$ (e, in genere, si scrive $[4,6]=4$) mentre $5$ è il suo arrotondamento (per eccesso).
A questo punto dubito che l'autore avesse in mente i logaritmi...[/quote]
ho pensato la stessa cosa, avrebbe dovuto dire di fare riferimento alla sola parte intera, senza l'arrotondamento[/quote]
Esatto, comunque...se sei alle superiori fai riferimento a quanto spiegato dall'insegnante; eventualmente, facendo presente il tuo dubbio se quello che è stato detto a lezione non è sufficiente per chiarire a quale definizione fa riferimento il tuo/la tua prof.
La definizione più comune è, sostanzialmente, quella postata da giammaria; con essa $4,9 \cdot 10^3$ ha ODG $10^3$, mentre con la definizione del libro postato verrebbe $10^4$...
In pratica, riflettendoci, secondo quel libro: se il numero è $a*10^n$ (con $1<=a<10$), se $a<4,5$ l'ordine di grandezza è $10^n$ (sono gli $a$ che, con l'arrotondamento descritto in quel libro, ti danno interi fra $1$ e $4$), altrimenti è $10^(n+1)$...ha solo "spostato" lo "spartiacque" a $4,5$ invece che a $5$ (arbitrario l'uno e l'altro...ma il secondo è quello di uso comune).
ok, grazie 
"alessio76":
Il libro che citi (insieme a qualche libro di matematica di nuova edizione), senza dirlo, usa la definizione di ordine di grandezza usata più spesso nella "tradizione" anglosassone (l'ho vista però solo in testi di Fisica di livello universitario o preparatori per l'università oppure in qualche testo di Physics HL per l'IBO...mai a livello gcse, igcse o A levels...), che fa riferimento alla rappresentazione dei numeri come potenze di 10, in sostanza l'ordine di grandezza di un numero è l'arrotondamento all'intero più vicino del logaritmo in base 10 del numero...da questo punto di vista a "metà strada" tra $1=10^0$ e $10=10^1$ c'è $10^{0.5}=10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}\approx 3.162$ (invece di (1+10)/2=5.5, o ancora più grossolanamente, come si fa di solito, 5).
Che, se non sbaglio è esattamente il criterio del rapporto: infatti $sqrt(10)/1 = 10/sqrt(10)$, ossia $sqrt(10)$ è equidistante da 1 e da 10
Cosa ci sia poi di così difficile nel dire che si prende la potenza interiore o superiore a seconda che il numero sia minore o maggiore di $sqrt(10)$ (invece che 5), tanto da dover riservare la cosa ai libri universitari, confesso di non capirlo.
Perché non sei uno studente delle Superiori 
Battute a parte non è così facile come potrebbe sembrare valutare quanto un concetto sia alla portata degli studenti di una certa età.
Battute a parte non è così facile come potrebbe sembrare valutare quanto un concetto sia alla portata degli studenti di una certa età.
"mgrau":
Che, se non sbaglio è esattamente il criterio del rapporto: infatti $sqrt(10)/1 = 10/sqrt(10)$, ossia $sqrt(10)$ è equidistante da 1 e da 10
Certo, è esattamente la stessa cosa.
"mgrau":
Cosa ci sia poi di così difficile nel dire che si prende la potenza interiore o superiore a seconda che il numero sia minore o maggiore di $sqrt(10)$ (invece che 5), tanto da dover riservare la cosa ai libri universitari, confesso di non capirlo.
Quarto mistero di fatima...anche se non mi pare così rilevante né, forse, opportuno: riporto una pagina di un testo, di Matematica (l’unico a me noto che ci prova), per il primo anno delle superiori che prova a spiegarlo...(piccolo problema: la spiegazione non era chiara manco all’insegnante, che ha, saggiamente direi, deciso di saltarla...)
Forse, coi ragazzi del primo anno, sarebbe più proficuo concentrarsi su altro (visti poi gli esiti in uscita...), ma non ho statistiche su cui basarmi.
Fuori dall’Italia (dove la definizione “logaritmica” in pratica non esiste), nei rari casi in cui l’ho trovata ho visto poi ridurre la stima dell’ODG a un calcolo da “calculator” (testi di physics hl per IB diploma programme):
Allora forse meglio usare la versione grossolana e valutare se spiegare la versione corretta più avanti, in terza o quarta, magari anche come esempio di “scala logaritmica”...
Concordo con mgrau che la definizione "logaritmica" è comprensibile (in astratto) e probabilmente più "corretta", ma concordo anche con axpgn sull'opportunità di presentarla a studenti delle superiori (in particolar modo perché si parla di "primini").
Aggiungo che, in realtà, la definizione dell'ODG con il logaritmo in base 10 non centra nulla con la domanda posta da lasy; sono stato indotto a ritenere che si trattasse di quello da una lettura veloce e molto superficiale del libro postato dall'OP. Invece, quella definizione coincide, quasi alla lettera con un "algoritmo pratico" che si può trovare sulla garzantina di Matematica, salvo per la parte finale: nel libro dell'OP se l'intero ottenuto è "compreso fra 0 [sic!] e 4, allora l'ordine di grandezza è la potenza di 10 che si trova già scritta", mentre nella garzantina si trova: "se il numero intero è 1, 2, 3, 4, 5 allora l'ordine di grandezza è la potenza di 10" che si trova già scritta ("spartiacque", con l'algoritmo pratico della garzantina, a 5,5 direi)...ecco, forse, spiegato il busillis...(da notare che l'algoritmo della garzantina non è manco in completo accordo con quanto scrive poche righe sopra).
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