Numero soluzioni equazione di primo grado
Buonasera, vi espongo un dubbio che mi è sorto. In un esercizio vero/falso, all’affermazione “un’equazione di primo grado ha sempre una sola soluzione “, la risposta corretta viene considerata “falso”, perché ci sono le equazioni indeterminate e impossibili. E in effetti è stata la prima risposta che mi è venuta in mente.
Però poi, pensandoci meglio, ho riflettuto sul fatto che il grado di un’equazione è, per definizione, il grado del polinomio P(x) che si ottiene portando l’equazione in forma normale P(x)=0.
Ma allora, portando un’equazione indeterminata/impossibile in forma normale, si ottiene che l’equazione è di grado zero e questo mi porterebbe a dire che l’affermazione di partenza è vera.
Spero di essermi spiegato.
C’è qualche errore nel mio ragionamento?
Però poi, pensandoci meglio, ho riflettuto sul fatto che il grado di un’equazione è, per definizione, il grado del polinomio P(x) che si ottiene portando l’equazione in forma normale P(x)=0.
Ma allora, portando un’equazione indeterminata/impossibile in forma normale, si ottiene che l’equazione è di grado zero e questo mi porterebbe a dire che l’affermazione di partenza è vera.
Spero di essermi spiegato.
C’è qualche errore nel mio ragionamento?
Risposte
$x=x-2$
Ma è un'equazione di primo grado?
Questa $(x-1)^2=x^2-3x-6$ è un'equazione di secondo grado?
Dipende da come la si definisce ...
Questa $(x-1)^2=x^2-3x-6$ è un'equazione di secondo grado?
Dipende da come la si definisce ...
@alex
Un'equazione può essere pensata come l'intersezione di due curve (membro sinistro e destro).
Se le due curve non si intersecano, non c'è soluzione.
Tu come la vedi?
Un'equazione può essere pensata come l'intersezione di due curve (membro sinistro e destro).
Se le due curve non si intersecano, non c'è soluzione.
Tu come la vedi?
Non so a che punto sia l'OP ma tu sei già andato "oltre" nel senso che non è necessario arrivare alle "curve" per parlare, o meglio, definire cosa sia un'equazione ... quindi, ripeto, dipende dalla definizione che gli è stata data ...
Peraltro, volendo dare comunque un parere, secondo me, a quel livello, si dovrebbe parlare di equazione di primo grado, secondo grado, ecc. quando ci si riferisce alla forma normale dell'equazione ... altrimenti potresti avere espressioni di grado maggiore di cento che poi ridotte a forma normale sono equazioni di primo grado ovvero ritengo improprio "sbilanciarsi" sul grado di un'equazione prima di averci fatto qualche ragionamento sopra
IMHO
Cordialmente, Alex
Peraltro, volendo dare comunque un parere, secondo me, a quel livello, si dovrebbe parlare di equazione di primo grado, secondo grado, ecc. quando ci si riferisce alla forma normale dell'equazione ... altrimenti potresti avere espressioni di grado maggiore di cento che poi ridotte a forma normale sono equazioni di primo grado ovvero ritengo improprio "sbilanciarsi" sul grado di un'equazione prima di averci fatto qualche ragionamento sopra
IMHO
Cordialmente, Alex
A me pare che l'OP abbia centrato bene il punto quando dice che un'equazione di primo grado IN FORMA NORMALE ha sempre una e una sola soluzione.
La definizione del grado di un’equazione che usiamo è il grado del polinomio P(x) una volta ridotta l’equazione in forma normale P(x)=0.
Da qui il mio dubbio. Quindi l’equazione x=x-2, portata in forma normale, sarebbe 2=0, che direi che non ha grado 1.
Non so però se c’è qualche buco nel mio ragionamento
Da qui il mio dubbio. Quindi l’equazione x=x-2, portata in forma normale, sarebbe 2=0, che direi che non ha grado 1.
Non so però se c’è qualche buco nel mio ragionamento
A mio parere, no, nessun buco.
Ma aspettiamo altri pareri che è meglio
Ma aspettiamo altri pareri che è meglio
Non sono certo che la definizione del grado di un'equazione sia definita dal polinomio che si ottiene dalla sua forma normale. Io distinguerei le due "cose". Ma se è così ha ragione l'OP
P.S. il mio dubbio nasce fatto che per esempio $y=x^2/x$ è diversa da $y=x$... e non ho mai sentito parlare di forme normali delle funzioni
P.S. il mio dubbio nasce fatto che per esempio $y=x^2/x$ è diversa da $y=x$... e non ho mai sentito parlare di forme normali delle funzioni
Questa è la definizione che ti hanno dato?
Allora la risposta alla domanda: "un equazione di primo grado ha sempre una sola soluzione" è vero!
Quoto! Ritengo tu abbia ragione! In primo luogo perché la definizione che usa l'OP gli da ragione. Quindi indipendentemente dalla mia definizione, dalla definizione di bokonon o quella di axpgn, per coerenza di struttura la definizione che hanno dato all' OP fa sì che la risposta corretta alla domanda è: vero!!
Un equazione algebrica o polinomiale è definita come
\[ P(X) = 0 \]
dove \( P \in K[X] \) per qualche campo, solitamente \( \mathbb{R} \) al liceo, e ha senso parlare di grado solo se è in forma normale, poiché solo così si possono vedere le soluzioni dell'equazione come le radici del polinomio. Per il teorema fondamentale dell'algebra segue quindi che un equazione di grado \(n\) ha al più \(n\) soluzioni per questo motivo. Nel caso \(n=1\) e \(K=\mathbb{R}\) il nostro "al più 1 soluzione" diventa "esattamente 1 soluzione".
Certo che puoi vedere un equazione come l'intersezione di due curve, o nel caso specifico un equazioni polinomiali vederla come intersezione di due polinomi, i.e.
\[ P(X) = Q(X) \]
ma qual è il grado di questa equazione?? Mah... è per caso il grado di \(P\)? Il grado di \(Q \) ? No! La cosa più sensata da fare e credo - ma potrei sbagliarmi - anche l'unica, è definire il grado di quell'equazione come il grado del polinomio \( (P-Q)(X) \).
"nicola6":
La definizione del grado di un’equazione che usiamo è il grado del polinomio P(x) una volta ridotta l’equazione in forma normale P(x)=0.
Allora la risposta alla domanda: "un equazione di primo grado ha sempre una sola soluzione" è vero!
"axpgn":
A mio parere, no, nessun buco.
Quoto! Ritengo tu abbia ragione! In primo luogo perché la definizione che usa l'OP gli da ragione. Quindi indipendentemente dalla mia definizione, dalla definizione di bokonon o quella di axpgn, per coerenza di struttura la definizione che hanno dato all' OP fa sì che la risposta corretta alla domanda è: vero!!
"Bokonon":
Non sono certo che la definizione del grado di un'equazione sia definita dal polinomio che si ottiene dalla sua forma normale. Io distinguerei le due "cose". Ma se è così ha ragione l'OP
Un equazione algebrica o polinomiale è definita come
\[ P(X) = 0 \]
dove \( P \in K[X] \) per qualche campo, solitamente \( \mathbb{R} \) al liceo, e ha senso parlare di grado solo se è in forma normale, poiché solo così si possono vedere le soluzioni dell'equazione come le radici del polinomio. Per il teorema fondamentale dell'algebra segue quindi che un equazione di grado \(n\) ha al più \(n\) soluzioni per questo motivo. Nel caso \(n=1\) e \(K=\mathbb{R}\) il nostro "al più 1 soluzione" diventa "esattamente 1 soluzione".
Certo che puoi vedere un equazione come l'intersezione di due curve, o nel caso specifico un equazioni polinomiali vederla come intersezione di due polinomi, i.e.
\[ P(X) = Q(X) \]
ma qual è il grado di questa equazione?? Mah... è per caso il grado di \(P\)? Il grado di \(Q \) ? No! La cosa più sensata da fare e credo - ma potrei sbagliarmi - anche l'unica, è definire il grado di quell'equazione come il grado del polinomio \( (P-Q)(X) \).
Tagliamo la testa al toro:
$x+y=5$ è di primo grado e ha infinite soluzioni se le incognite sono numeri reali.
$x+y=5$ è di primo grado e ha infinite soluzioni se le incognite sono numeri reali.
Eh, va beh, ma è di primo grado se una delle due è un parametro e quindi la soluzione è comunque una sola ovvero $x=5-y$ o viceversa
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"@melia":Concordo! Il quesito (la cui formulazione è orrenda, ma va beh) non specifica il numero di variabili. Voto per il tuo controesempio.
Tagliamo la testa al toro:
$x+y=5$ è di primo grado e ha infinite soluzioni se le incognite sono numeri reali.
Vabbe però secondo me sei un po' stron** se fai una domanda del genere e consideri come controesempi equazioni a più variabili. Perché insomma alle superiori non vedi troppo polinomi in più variabili. O meglio non li vedi come polinomi
Ps: passatemi il termine, non è riferito a nessuno im particolare
Ps: passatemi il termine, non è riferito a nessuno im particolare
Ho fatto questo esempio che è il primo nel libro di testo che usiamo proprio per sfatare il fatto che le equazioni di primo grado abbiano sempre un'unica soluzione.
Ma se quella è l'impostazione allora voglio proprio vedere come ti è possibile conciliare quest'idea (ovvero che ogni equazione indipendentemente dal grado non ha un'unica soluzione, perché quello è) per esempio con l'altra idea, portata avanti fino allo sfinimento da libri e docenti, che le equazioni di secondo grado hanno sempre una, due o nessuna soluzione reale con tanto di parabole in su e in giù e discriminanti positivi e negativi a seconda di quanto vale $k$ (lettera preferita) o miliardi di esercizi con tangenti o secanti o niente secondo il numero delle soluzioni. 
Mi sembra un modo per fare confusione (a spese dello studente) ...
Cordialmente, Alex
Mi sembra un modo per fare confusione (a spese dello studente) ...
Cordialmente, Alex
È ovvio che se passiamo alle equazioni letterali dove ogni lettera rappresenta un valore, la soluzione particolare di un'incognita dipende dal valore delle altre lettere ma la soluzione generale no, ed è unica in quelle di primo grado e così via per quelle di secondo ecc. ... IMHO
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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