Numero razionale
un quesito "se il quadrato di un numero reale è razionale, allora il numero è razionale" quest'affermazione è diversa dal dire "se un numero reale è razionale, allora anche il suo quadrato è razionale".
la prima affermazione la ritenevo falsa poichè credevo di aver trovto un controesempio:
n^2∈ R
n^2∈ R
se n=√2
n^2=2 ∈ R
∈ Q
invece n∉Q poichè √2
leggendo la definizione algebrica di numero razionale mi sorge un dubbio che il mio ragionamento sia errato chiedo quindi consiglio.
ciao grazie
la prima affermazione la ritenevo falsa poichè credevo di aver trovto un controesempio:
n^2∈ R
n^2∈ R
se n=√2
n^2=2 ∈ R
∈ Q
invece n∉Q poichè √2
leggendo la definizione algebrica di numero razionale mi sorge un dubbio che il mio ragionamento sia errato chiedo quindi consiglio.
ciao grazie
Risposte
l'interpretazione è corretta.
la prima affermazione è falsa, la seconda è vera.
il controesempio per la falsità della prima è corretto.
a questo punto potresti anche ultimare il quesito con la dimostrazione della validità della seconda affermazione.
ciao.
la prima affermazione è falsa, la seconda è vera.
il controesempio per la falsità della prima è corretto.
a questo punto potresti anche ultimare il quesito con la dimostrazione della validità della seconda affermazione.
ciao.
secondo me la prima è falsa perchè come dici tu un numero non razionale al quadrato può essere razionale. mentre la seconda è sempre vera secondo me perchè sarà una sempre una frazione con numeratore e denominatore tutti e due al quadrato.
$(p/q)^2= (p^2/q^2)$
$(p/q)^2= (p^2/q^2)$
un abbozzo di dimostrazione che mi viene in mente di getto è: essendo la definizione di insieme Q l'insieme quoziente dove date due coppie ordinate (a,b) e (c,d) si dicono equivalenti se e solo se ad=cb il quadrato di un numero non è altro che aa=bb dove a,b∈ Q quidi il loro prodotto appartiene ancora a Q.
non sono per niente sicuro rileggendo mi sembra un pasticcio ma questo mi salta in mante.
ciao grazie per le delucidazioni.[/pgn][/chessgame][/chesspos]
non sono per niente sicuro rileggendo mi sembra un pasticcio ma questo mi salta in mante.
ciao grazie per le delucidazioni.[/pgn][/chessgame][/chesspos]
si forse hai ragione
se non ti si impone di usare le coppie ordinate, ma la definizione di numero razionale come frazione, mi pare che la dimostrazione di valerio cavolaccio sia molto più semplice...
ciao.
ciao.
non posso esprimere radice di due con una frazione o un numero appartenente a Q. ma se Q non ammette estremo superiore cioè esistono sottoinsiemi di Q che non ammettono estremo superiore, se ho ben capito, quindi anche un numero con un infinità di cifre dopo la virgola a questo punto fa parte di Q, perciò anche 1,4142.... può far parte di un sottoinsieme di Q e quindi di Q.
oppure è l'operazione estrazione di radice che non è ammessa nell'insieme Q?
ciao
oppure è l'operazione estrazione di radice che non è ammessa nell'insieme Q?
ciao
non so se ho capito il tuo dubbio.
posso provare a dire che un numero razionale può avere infinite cifre dopo la virgola (diverse da zero), come ad esempio i numeri periodici, però dopo un numero finito di passaggi si conoscono tutte le infinite cifre. se fai la divisione m/n, i possibili resti ad ogni passaggio possono essere da 0 a n-1, per cui al massimo dopo n passaggi ci ritroviamo ad avere uno stesso resto già ottenuto precedentemente, e da quel momento in poi una o più cifre si ripetono indefinitamente.
per dire che l'estrazione di radice non è un'operazione razionale (anche se "alcune volte" restituisce numeri razionali) io non ricordo un metodo basato sull'esame dell'algoritmo. un modo tipico di affrontare l'argomento è invece la dimostrazione dell'irrazionalità di radice di 2. e questa la si fa per assurdo, ricorrendo al teorema fondamentale dell'aritmetica (unicità della scomposizione di un numero in fattori primi).
la possibilità di definire classi contigue è legata alla densità dell'insieme Q in R con l'ordinamento naturale: comunque fissi un numero positivo epsilon "piccolo a piacere" esistono almeno due numeri, uno appartenente alla classe "che approssima per eccesso" radice di 2, uno all'altra classe, tali che la loro differenza sia minore del prefissato epsilon.
spero di essere stata utile. ciao.
posso provare a dire che un numero razionale può avere infinite cifre dopo la virgola (diverse da zero), come ad esempio i numeri periodici, però dopo un numero finito di passaggi si conoscono tutte le infinite cifre. se fai la divisione m/n, i possibili resti ad ogni passaggio possono essere da 0 a n-1, per cui al massimo dopo n passaggi ci ritroviamo ad avere uno stesso resto già ottenuto precedentemente, e da quel momento in poi una o più cifre si ripetono indefinitamente.
per dire che l'estrazione di radice non è un'operazione razionale (anche se "alcune volte" restituisce numeri razionali) io non ricordo un metodo basato sull'esame dell'algoritmo. un modo tipico di affrontare l'argomento è invece la dimostrazione dell'irrazionalità di radice di 2. e questa la si fa per assurdo, ricorrendo al teorema fondamentale dell'aritmetica (unicità della scomposizione di un numero in fattori primi).
la possibilità di definire classi contigue è legata alla densità dell'insieme Q in R con l'ordinamento naturale: comunque fissi un numero positivo epsilon "piccolo a piacere" esistono almeno due numeri, uno appartenente alla classe "che approssima per eccesso" radice di 2, uno all'altra classe, tali che la loro differenza sia minore del prefissato epsilon.
spero di essere stata utile. ciao.
ci penso grazie
prego.
ho guardato la dimostrazione di euclide dell'irrazionalità di radq2 ho capito grazie
bene, mi fa piacere. altri dubbi?
la mia dimostrazione sarà più semplice ma l'altra delle coppie ordinate è senz'altro più elegante...
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