Numero possibili funzioni dati due insiemi
Dati due insiemi `A` e `B` tali che `|A|=m` e `|B|=n`, è possibile stabilire quante sono tutte le possibili funzioni da `A` in `B`?
E possibile stabilire anche il numero di quelle biettive ?
(`|A|`=cardinalità di `A`)
Ci dovrebbe essere qualche formula, che però non riesco a trovare.
Grazie
E possibile stabilire anche il numero di quelle biettive ?
(`|A|`=cardinalità di `A`)
Ci dovrebbe essere qualche formula, che però non riesco a trovare.
Grazie
Risposte
$f:A->B$ è una funzione se e solo se ogni elemento di A ha una unica immagine in B.
Quindi il primo elemento di A può avere n possibili immagini, il secondo pure, ... fino all'm-esimo che anche lui può avere n possibili immagini, in totale $n^m$.
Per la biettività:
se $n!=m$ non possono esserci fuzioni biettive di A in B
se $n=m$ allora il primo elemento di A può avere n possibili immagini, ma il secondo, non potendo avere la stessa immagine, ha $n-1$ possibilità, il terzo $n-2$, ... il termine m-esimo occuperà l'ultimo elemento rimasto libero, in totale $n!$
Quindi il primo elemento di A può avere n possibili immagini, il secondo pure, ... fino all'm-esimo che anche lui può avere n possibili immagini, in totale $n^m$.
Per la biettività:
se $n!=m$ non possono esserci fuzioni biettive di A in B
se $n=m$ allora il primo elemento di A può avere n possibili immagini, ma il secondo, non potendo avere la stessa immagine, ha $n-1$ possibilità, il terzo $n-2$, ... il termine m-esimo occuperà l'ultimo elemento rimasto libero, in totale $n!$
Ok...spiegazione molto chiara...grazie @Melia.
prego
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