Numero di intersezioni al variare di un parametro k

[aram1]

Devo determinare il numero di intersezioni tra le due curve seguenti, al variare del parametro reale k:
$ y_1=kx^3+2x$
$ y_2=x^3+kx$
Mi chiedo se esiste un metodo algebrico oppure devo disegnare i grafici delle due curve al variare del parametro k(quindi sicuramente dovrò fare più disegni)...grazie a chiunque mi sarà d'aiuto!

[@melia]

Mettendo a sistema le due equazioni ottieni $(k-1)x^3+(2-k)x=0$, raccogli $x$ e ottieni $x((k-1)x^2+2-k)=0$, da cui ricavi un'equazione di primo grado con soluzione $x=0$ verificata $ AA k in RR$ e l'equazione di secondo grado pura $(k-1)x^2+2-k=0$ con la quale devi vedere i 3 casi
$(k-1)(2-k)=0$ che si sdoppia in casi diversi a seconda dei valori di $k$
$(k-1)(2-k)>0$ per cui la parte di secondo grado non ha soluzioni
$(k-1)(2-k)<0$ per cui la parte di secondo grado ammette 2 soluzioni

[aram1]

perchè devo considerare i prodotti $(k-1)(2-k)$? quindi avrei tre casi di cui il primo che mi hai indicato ha due sottocasi particolari($k=1$ e $k=2$), giusto? Il disegno del grafico è superfluo quindi?

[@melia]

1. Le equazioni pure $Ax^2+C=0$ hanno 2 soluzioni reali solo se $A$ e $C$ sono discordi, cioè $A*C<0$, altrimenti il radicando risulta negativo;
2. giusto;
3. giusto.