Numeri dispari
Si dimostri che per ogni numero dispari $p$ il numero $n=p^2+(p+1)^3+(p+2)^4$ non è il cubo di un numero intero.
Risposte
Io ho fatto così, ma non so se è giusto.
Ho osservato che $n= p^2+(p+1)^3+(p+2)^4= p^4+9p^3+28p^2+35p+17$ è sicuramente un numero pari (disp+disp+pari+disp+disp=pari)
Allora, supponendo per assurdo che n sia il cubo di un intero, sarà il cubo di un intero $2x$.
Dunque n deve essere divisibile per $2^3=8$, ma questo non si verifica (lo vediamo ad es. dalla regola di Ruffini).
Essendo caduti in contraddizione possiamo affermare che n non è il cubo di un intero.
Ho osservato che $n= p^2+(p+1)^3+(p+2)^4= p^4+9p^3+28p^2+35p+17$ è sicuramente un numero pari (disp+disp+pari+disp+disp=pari)
Allora, supponendo per assurdo che n sia il cubo di un intero, sarà il cubo di un intero $2x$.
Dunque n deve essere divisibile per $2^3=8$, ma questo non si verifica (lo vediamo ad es. dalla regola di Ruffini).
Essendo caduti in contraddizione possiamo affermare che n non è il cubo di un intero.
Io osserverei molto piu' semplicemente che il tutto modulo 8 e' impossibile, dato che si avrebbe $p^2+(p+1)^2+(p+2)^4 \equiv 1 + 0 + 1 \equiv 0(mod 8)$ e anche $1+4+1 \equiv0(mod8)$, assurdo. Dato che un quadrato dispari modulo 8 e' 1 e un quadrato pari modulo 8 e' 0 o 4.
"nomen":
Io ho fatto così, ma non so se è giusto.
Ho osservato che $n= p^2+(p+1)^3+(p+2)^4= p^4+9p^3+28p^2+35p+17$ è sicuramente un numero pari (disp+disp+pari+disp+disp=pari)
Allora, supponendo per assurdo che n sia il cubo di un intero, sarà il cubo di un intero $2x$.
Dunque n deve essere divisibile per $2^3=8$, ma questo non si verifica (lo vediamo ad es. dalla regola di Ruffini).
Essendo caduti in contraddizione possiamo affermare che n non è il cubo di un intero.
Si vedeva dall'inizio che $n$ deve essere pari. Comunque, devi scrivere il procedimento usando la regola di Ruffini, e' tutto li' il problema.
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