Normale alla curva??
Ciao a tutti! Ragazzi mi sapete dire cos'è "normale alla curva"???? È forse la tangegnte?
Risposte
La normale ad una curva in un suo punto P (necessariamente di regolarità per la curva) e' la retta ortogonale alla tangente in P, e passante ancora per P.
Luca.
Luca.
In pratica è la retta perpendicolare alla tangente della cura! Giusto?
Esatto.
Luca.
Luca.
Ma allora che relazione c'è fra la pendenza della tangente e la rette normale?
Quini in pratica: come fai a trovare i punti della curva di equazione y=(4-x^2)/x nei quali la normale alla curva stessa ha pendenza 0.5!
(utilizzando le derivate)
(utilizzando le derivate)
essendo la normale, ortogonale alla tangente, il suo coefficiente angolare sarà l'inverso e l'opposto di quello della tangente (o della derivata in quel punto se preferisci!)
nel tuo esempio basta che ti calcoli la derivata della funzione, ne fai l'inverso e l'opposto e imponi tutto uguale a 1/2...poi risolvi l'equazione e vedrai per quali punti di x ha senso la relazione!
allora: deriviamo la f(x)
f'(X)=[-2x^2-(4-x^2)]/x^2=(-4-x^2)/x^2 questo è il coef. angolare della tangente
x^2/(4+x^2) sarà il coef. angolare della normale!
x^2=1/2 (4+x^2)
x^2=2+1/2 x^2
1/2 x^2= 2
x^2=4
x=[:P]2
chiaro?
ciao
il vecchio
nel tuo esempio basta che ti calcoli la derivata della funzione, ne fai l'inverso e l'opposto e imponi tutto uguale a 1/2...poi risolvi l'equazione e vedrai per quali punti di x ha senso la relazione!
allora: deriviamo la f(x)
f'(X)=[-2x^2-(4-x^2)]/x^2=(-4-x^2)/x^2 questo è il coef. angolare della tangente
x^2/(4+x^2) sarà il coef. angolare della normale!
x^2=1/2 (4+x^2)
x^2=2+1/2 x^2
1/2 x^2= 2
x^2=4
x=[:P]2
chiaro?
ciao
il vecchio
chiarissimo, ma ora ho un altro problema: Determinare l'equazione della normale alla parabola di equazione y=x^2-(k-1)x+2-k nel punto di ascissa x=2 e determinare k in modo che la normale passi per il punto P(2,3)
Come cavolicchio trovi l'equazione della normale?
Come cavolicchio trovi l'equazione della normale?
Rispondo così alla tua prima domanda:
due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari (m , m') tali che : m*m' = -1.
Es : se una retta ha coeff ang = 2, la retta perpendicolare ha coeff angolare = -1/2.
Una ripassata di geometria analitica non ti farebbe male ...
Esercizio
Ricorda che la retta tangente a una curva y=f(x) in un suo punto ha coefficiente angolare ( cioè m) uguale alla derivata della funzione in quel punto , a dire : m = f'(x).
calcoliamo f'(x) = (-x^2-4)/x^2.
Il coefficiente angolare della retta normale sarà, per quanto detto sopra m' = -1/m e quindi m' = x^2/(x^2+4).
Il problema chiede per quali valori di x, cioè per quali punti della curva la normale ha pendenza = 0.5(1/2):
Pendenza è sinonimo di coefficiente angolare : devo quindi risolvere l'equazione :
x^2/(x^2+4) =1/2 da cui : x = + -2.
Camillo
due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari (m , m') tali che : m*m' = -1.
Es : se una retta ha coeff ang = 2, la retta perpendicolare ha coeff angolare = -1/2.
Una ripassata di geometria analitica non ti farebbe male ...
Esercizio
Ricorda che la retta tangente a una curva y=f(x) in un suo punto ha coefficiente angolare ( cioè m) uguale alla derivata della funzione in quel punto , a dire : m = f'(x).
calcoliamo f'(x) = (-x^2-4)/x^2.
Il coefficiente angolare della retta normale sarà, per quanto detto sopra m' = -1/m e quindi m' = x^2/(x^2+4).
Il problema chiede per quali valori di x, cioè per quali punti della curva la normale ha pendenza = 0.5(1/2):
Pendenza è sinonimo di coefficiente angolare : devo quindi risolvere l'equazione :
x^2/(x^2+4) =1/2 da cui : x = + -2.
Camillo
Imponendo che la parabola passi per P(2,3 ) sostituisci nell'equazione della parabola . x=2, y=3 e ottieni come valore di k= 5/3.
Calcola y'=2x-k e valorizzalo per x=2 , otterrai m= 7/3.
La normale avrà allora m' = -3/7.
L'equazione della normale sarà allora :
y-3 = -3/7*(x-2).
Camillo
Calcola y'=2x-k e valorizzalo per x=2 , otterrai m= 7/3.
La normale avrà allora m' = -3/7.
L'equazione della normale sarà allora :
y-3 = -3/7*(x-2).
Camillo
ok, grazie! Avevo fatto così, ma mi veniva un k diverso dalla soressa ed allora ero convinto di aver sbagliato metodo, invece sbagliavo un calcolo! 
Ora invece non so proprio da che parti iniziare (copio il teso come dal libro):
Data la parabola di equazione y=0.25x^2m determinare i punti A e B in cui le tangenti si incontrano nel punto P(1,-2) e scriverne le equazioni!
Ora invece non so proprio da che parti iniziare (copio il teso come dal libro):
Data la parabola di equazione y=0.25x^2m determinare i punti A e B in cui le tangenti si incontrano nel punto P(1,-2) e scriverne le equazioni!
Non è chiaro : y= 0.25x^(2m)? x elevato alla 2m ? m indeterminato ?
Camillo
Camillo
scusa! È solo y=0.2x^2
veramente un bel metodo quello delle derivate, ma io il problema l' ho risolto così: scrivo l' equazione del fascio di rette passanti per il punto P, cioè y-y0 = m (x-x0) dove y0 e x0 sono le coordinate di P, ottenendo così y=mx-m-2; a questo punto ho fatto il sistema fra la parabola e il fascio di rette, ottenendo un' equazione parametrica, e quindi ho clacolato il delta, che è:
D= 4m^2 + 4(m+2)/5 , ora, sapendo che le rette che intersecano la parabola devono essere tangenti, vuol dire che il delta è uguale a zero, però facendo il delta del delta, vedo che esso è negativo, e pertanto non ci sono soluzioni reali...
D= 4m^2 + 4(m+2)/5 , ora, sapendo che le rette che intersecano la parabola devono essere tangenti, vuol dire che il delta è uguale a zero, però facendo il delta del delta, vedo che esso è negativo, e pertanto non ci sono soluzioni reali...
La tua soluzione e' corretta, ma se io ti avessi dato una cubica al posto di una conica, tutto il tuo ragionamento cade. Invece resta in piedi il metodo che fa uso del calcolo differenziale, applicabile a qialunque funzione regolare.
Luca.
Luca.
Ragazzi le soluzioni ci sono! Il libro dice che A(-2,1) B(4,4)
ho torvato l'errore: L'equazione della tangente alla parabola in A non è:
y - 1/5 m² = 2/5 x (x - m) ma bensì y - 1/5 m² = 2/5 m (x - m)
Perche la la pendenza e quindi la derivata in quel punto dipende dalla x di A
y - 1/5 m² = 2/5 x (x - m) ma bensì y - 1/5 m² = 2/5 m (x - m)
Perche la la pendenza e quindi la derivata in quel punto dipende dalla x di A
cmq ho risolto il problema e funziona!!! Grazie mille del preziosissimo aiuto!
Hai ragione! La pendenza dipende proprio dall'ascissa di A!
Sono comunque felice di averti aiutato...
Tieni anche presente che a scuola non ho ancora
studiato le derivate. In effetti in questo caso
ci voleva un po' più di attenzione...
Vado a cancellare il mio precedente post,
tanto il topic "ha senso" anche senza la mia risposta.
Sono comunque felice di averti aiutato...
Tieni anche presente che a scuola non ho ancora
studiato le derivate. In effetti in questo caso
ci voleva un po' più di attenzione...
Vado a cancellare il mio precedente post,
tanto il topic "ha senso" anche senza la mia risposta.
Tieni anche presente che a scuola non ho ancora
studiato le derivate.
Allora come cavolo fai a saperle??? E poi le sai mega bene!
studiato le derivate.
Allora come cavolo fai a saperle??? E poi le sai mega bene!
Diciamo che le so perché sono un appassionato
del settore, in particolare dell'Analisi Infinitesimale,
e quindi mi piace approfondire i miei studi di Matematica, da autodidatta.
del settore, in particolare dell'Analisi Infinitesimale,
e quindi mi piace approfondire i miei studi di Matematica, da autodidatta.
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