Non ho capito proprio questo esercizio
ciao a tutti
in pratica dovrei risolvere questo esercizio con i limiti ma non ho proprio capito cosa intende...
questa e' la frase
Stabilire se le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio:
$f(x){ (x),( 3-2x ),(x/4-4) :}$
se $-3<=x<1$ (rivolto a $x$)
se $1<=x<3$ (rivolto a $3-2x$)
se $3<=x<8$ (rivolto a $x/4-4$)
non ho proprio capito cosa dovrei fare cioe che cosa intende l'esercizio ...
in pratica dovrei risolvere questo esercizio con i limiti ma non ho proprio capito cosa intende...
questa e' la frase
Stabilire se le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio:
$f(x){ (x),( 3-2x ),(x/4-4) :}$
se $-3<=x<1$ (rivolto a $x$)
se $1<=x<3$ (rivolto a $3-2x$)
se $3<=x<8$ (rivolto a $x/4-4$)
non ho proprio capito cosa dovrei fare cioe che cosa intende l'esercizio ...
Risposte
Devi semplicemente applicare la definizione di funzione continua in un punto...
Ovviamente $x_0$ è punto di accumulazione per $f$
$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$
Ovvero:
$lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)f(x)$ deve essere uguale ad $f(x_0)$
Quindi visto che si tratta di una funzione ottenuta a partire da funzione continue, devi solo verificare nei punti di raccordo, ovvero $1$ e $3$...
Quindi calcoli $f(1)=3-2(1)$ ovvero $f(1)=1$
Ora si procede col limite:
$lim_(x->1^-) f(x)=lim_(x->1^-) x=1$
$lim_(x->1^+) f(x)=lim_(x->1^+) 3-2x=1$
Quindi $f$ è continua in $1$
Ora ti resta la verifica della continuità in $x=3$
Ovviamente $x_0$ è punto di accumulazione per $f$
$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$
Ovvero:
$lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)f(x)$ deve essere uguale ad $f(x_0)$
Quindi visto che si tratta di una funzione ottenuta a partire da funzione continue, devi solo verificare nei punti di raccordo, ovvero $1$ e $3$...
Quindi calcoli $f(1)=3-2(1)$ ovvero $f(1)=1$
Ora si procede col limite:
$lim_(x->1^-) f(x)=lim_(x->1^-) x=1$
$lim_(x->1^+) f(x)=lim_(x->1^+) 3-2x=1$
Quindi $f$ è continua in $1$
Ora ti resta la verifica della continuità in $x=3$
grazie per la risposta
ma sono 3 funzioni diverse giusto?
una e' $x$ l'altra e' $3-2x$ e la terza e' $...$
non è una sola giusto?
ma sono 3 funzioni diverse giusto?
una e' $x$ l'altra e' $3-2x$ e la terza e' $...$
non è una sola giusto?
Non sono 3 funzioni diverse, almeno da come hai scritto la traccia... in pratica se $x$ è compreso tra $-3$ incluso e $1$ escluso allora $f(x) = x$, se invece $x$ è compreso tra $1$ incluso e $3$ escluso allora $f(x) = 3 - 2x$, se infine $x$ è compreso tra $3$ incluso e $8$ escluso allora $f(x) = x/4 - 4$. Per altri valori, la funzione non è definita. Ti consiglio di fare il grafico, ti potrebbe aiutare a comprendere l'esercizio.
perfetto ora ho capito cosa intende l'esercizio grazie pianoth.
In pratica di tutto guardo i punti i comune (raccordi) che sono $-1$ e $3$ perche in quei punti si passa da una funzione all'altra
questo ovviamente lo posso considerare dal momento che la funzione è stata costruita da 3 funzioni continue... infatti tutte e 3 hanno come dominio $R$
quindi la prima cosa che controllo è il punto di termine della funzione $f(x)=x$
e il punto d'inizio della funzione $f(x)=3-2x$
perche proprio sul valore di $x=1$ c'e' il passaggio "da una funzione all'altra".
quindi grazie ai limiti controllo $f(x)=x$ dove tende per $x->1^-$ che sarebbe dove termina
mentre per la funzione $f(x)=3-2x$ controllo dove tende a $x->1^-$ che sarebbe dove inizia
in questo modo posso capire se effettivamente entrambe tendono allo stesso valore e, di conseguenza, verificare se ce una discontinuità o meno.
$lim_(x->1^-) x = 1$
$lim_(x->1^+) 3-2x = 1$
procedo con il $3$
$lim_(x->3^-) 3-2x = -3$
$lim_(x->3^+) x/4-4 = -13/4$
conclusione:
sul primo raccordo$1$ è presente una continuità
mentre sul secondo $3$ non è presente una continuità perche il limite sulla fine della "seconda funzione" tende a $-3$ mentre quello dell'inizio dell'altra funzione a $-3.25$
infatti
$lim_(x->3^-) 3-2x \ne lim_(x->3^+) x/4-4$
dovrebbe essere giusto vero?
mille grazie
In pratica di tutto guardo i punti i comune (raccordi) che sono $-1$ e $3$ perche in quei punti si passa da una funzione all'altra
questo ovviamente lo posso considerare dal momento che la funzione è stata costruita da 3 funzioni continue... infatti tutte e 3 hanno come dominio $R$
quindi la prima cosa che controllo è il punto di termine della funzione $f(x)=x$
e il punto d'inizio della funzione $f(x)=3-2x$
perche proprio sul valore di $x=1$ c'e' il passaggio "da una funzione all'altra".
quindi grazie ai limiti controllo $f(x)=x$ dove tende per $x->1^-$ che sarebbe dove termina
mentre per la funzione $f(x)=3-2x$ controllo dove tende a $x->1^-$ che sarebbe dove inizia
in questo modo posso capire se effettivamente entrambe tendono allo stesso valore e, di conseguenza, verificare se ce una discontinuità o meno.
$lim_(x->1^-) x = 1$
$lim_(x->1^+) 3-2x = 1$
procedo con il $3$
$lim_(x->3^-) 3-2x = -3$
$lim_(x->3^+) x/4-4 = -13/4$
conclusione:
sul primo raccordo$1$ è presente una continuità
mentre sul secondo $3$ non è presente una continuità perche il limite sulla fine della "seconda funzione" tende a $-3$ mentre quello dell'inizio dell'altra funzione a $-3.25$
infatti
$lim_(x->3^-) 3-2x \ne lim_(x->3^+) x/4-4$
dovrebbe essere giusto vero?
mille grazie
ne ho fatto subito un altro prima di andare a dormire per vedere se ho capito
$g(x){ ( |sinx| ),( cos(x)+1 ):}$
$|sinx|$ se $pi/2<=x<(3pi)/2$
$cosx+1$ se $(3pi)/2<=x<2pi$
l'ho svolto in questa maniera:
$lim_(x->([3pi]/[2])^-) |sinx| = 1$
$lim_(x->([3pi]/[2])^+) cosx +1 = 1$
in questo caso non abbiamo punti di discontinuità nell'intervallo scelto
ho fatto giusto?
grazie
$g(x){ ( |sinx| ),( cos(x)+1 ):}$
$|sinx|$ se $pi/2<=x<(3pi)/2$
$cosx+1$ se $(3pi)/2<=x<2pi$
l'ho svolto in questa maniera:
$lim_(x->([3pi]/[2])^-) |sinx| = 1$
$lim_(x->([3pi]/[2])^+) cosx +1 = 1$
in questo caso non abbiamo punti di discontinuità nell'intervallo scelto
ho fatto giusto?
grazie
Sì
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