Mustafà Il Giusto
Safir Akhfash possedeva un appezzamento di terreno a forma triangolare, costeggiato sui tre lati da canali di irrigazione. Avvicinandosi l'ora del ricongiungimento con Allah, Safir chiama al proprio capezzale i figli, Abdul e Yusuf, e stabilisce che il fertile podere sia diviso in parti uguali tramite il tracciamento di una linea retta. Morto il padre, Abdul e Yusuf cominciano a litigare, perchè ciascuno dei due vuole accaparrarsi la parte meglio servita d'acqua, ossia con il perimetro maggiore. La contesa viene sottoposta al giudizio del califfo Mustafà al-Koxetah detto Il Giusto, il quale, dopo aver meditato sulla questione, mostra ai due ottusi fratelli come dividere il triangolo in due parti di egual area ed egual perimetro.
Supponendo che il triangolo abbia i lati di lunghezza 3,4,5, come deve essere tracciata una linea retta in modo da soddisfare i due fratelli?
Supponendo che il triangolo abbia i lati di lunghezza 3,4,5, come deve essere tracciata una linea retta in modo da soddisfare i due fratelli?
Risposte
Se ABC e' il triangolo (BC=5,AC=3) la retta in questione deve tagliare
BC in M ed AC in N tale che sia $CM=(6+sqrt6)/2,CN=(6-sqrt6)/2$
karl
BC in M ed AC in N tale che sia $CM=(6+sqrt6)/2,CN=(6-sqrt6)/2$
karl
Ma così l'area di CNM non viene uguale a 3, cioè alla metà del triangolo rettangolo dato.
Io ho provato prendendo i 2 punti su tutti i lati possibili; l'unico caso che dà soluzione è proprio, come dici tu, con M su BC ed N su AC; solo che mi viene un sistema simmetrico che risolto dà:
$x=3-sqrt(9-4sqrt3)$
$y=3+sqrt(9-4sqrt3)$
e che non mi piace, ma i conti tornano.
Io ho provato prendendo i 2 punti su tutti i lati possibili; l'unico caso che dà soluzione è proprio, come dici tu, con M su BC ed N su AC; solo che mi viene un sistema simmetrico che risolto dà:
$x=3-sqrt(9-4sqrt3)$
$y=3+sqrt(9-4sqrt3)$
e che non mi piace, ma i conti tornano.
bè uno stralcio di dimostrazione potreste anche metterlo, siamo tutti bravi a risolvere problemi di geometria con i software 
Veramente io mi trovo con i calcoli.
Quanto alla giustificazione la metto nel pomeriggio:adesso
vado al mare e mio fratello si e' portato il ...portatile.
karl
Quanto alla giustificazione la metto nel pomeriggio:adesso
vado al mare e mio fratello si e' portato il ...portatile.
karl
Dunque io ho fatto così:
innanzitutto il triangolo dato è rettangolo, visto che le misure formano una terna pitagorica; quindi ho preso come te Karl, per ritrovarci con la figura, AC=3, AB=4 e BC=5.
Si presentano 3 casi:
1) M su BC e N su AB
2) M su AB e N su AC
3) M su BC e N su AC.
Mi sono calcolata l'area e il perimetro di ABC:
S=6 e 2p=12; quindi le due aree dovranno essere $S_1=S_2=3$ e i confini bagnati dal fiume entrambi uguali a 6.
Cominciamo in ordine:
1) Pongo NB=x e MB=y; quindi $AN =4-x$ e $MC=5-y$
quindi dovrò risolvere il sistema simmetrico:
${(x+y=6),(xy=12):}$ che ha delta negativo, quindi questo primo caso non ha soluzione;
2) Pongo AN=x e AM=y; quindi il sistema è:
${(x+y=6),(xy=6):}$
che dà come soluzione non accettabile:
$x=3-sqrt3$ e $y=3+sqrt3$
non accettabile perchè $3+sqrt3>4$
3) Pongo NC=x e CM=y; il sistema che devo risolvere è:
${(x+y=6),(xy=4sqrt3):}
che dà come soluzione accettabile:
$x=3-sqrt(9-4sqrt3)$ e $y=3+sqrt(9-4sqrt3)$
Quindi il 3 è l'unico caso possibile.
P.S. Se ho risposto è solo per rispetto a Karl, non certo per raccogliere le provocazioni di chi non ha neanche il coraggio di firmarsi col proprio nome e per questo insultare liberamente e da vigliacco!
innanzitutto il triangolo dato è rettangolo, visto che le misure formano una terna pitagorica; quindi ho preso come te Karl, per ritrovarci con la figura, AC=3, AB=4 e BC=5.
Si presentano 3 casi:
1) M su BC e N su AB
2) M su AB e N su AC
3) M su BC e N su AC.
Mi sono calcolata l'area e il perimetro di ABC:
S=6 e 2p=12; quindi le due aree dovranno essere $S_1=S_2=3$ e i confini bagnati dal fiume entrambi uguali a 6.
Cominciamo in ordine:
1) Pongo NB=x e MB=y; quindi $AN =4-x$ e $MC=5-y$
quindi dovrò risolvere il sistema simmetrico:
${(x+y=6),(xy=12):}$ che ha delta negativo, quindi questo primo caso non ha soluzione;
2) Pongo AN=x e AM=y; quindi il sistema è:
${(x+y=6),(xy=6):}$
che dà come soluzione non accettabile:
$x=3-sqrt3$ e $y=3+sqrt3$
non accettabile perchè $3+sqrt3>4$
3) Pongo NC=x e CM=y; il sistema che devo risolvere è:
${(x+y=6),(xy=4sqrt3):}
che dà come soluzione accettabile:
$x=3-sqrt(9-4sqrt3)$ e $y=3+sqrt(9-4sqrt3)$
Quindi il 3 è l'unico caso possibile.
P.S. Se ho risposto è solo per rispetto a Karl, non certo per raccogliere le provocazioni di chi non ha neanche il coraggio di firmarsi col proprio nome e per questo insultare liberamente e da vigliacco!
coraggio? o mio dio... se il coraggio di una persona si vede in ciò che scrive in un forum allora siamo a posto, ridicola!
Non mi sembra un argomento dirimente il fatto che uno usi un nickname in un forum, come è tradizione e suo diritto.
Uno non può essere certo accuato di essere vigliacco per questo. Né mi sembrano termini da usare, date le circostanze.
Mi scuso con tutti i forumisti per la mia parte di responsabilità nell'avere stimolato qualcuno ad oltrepassare le righe.
D'altronde, il mio post nell'altro thread si concludeva con: "Buon flame a tutti" per cui forse si poteva capire che ero consapevole di essere un po' brusco. Se uno vuole offendere o essere duro (ultima cosa, questa, che faccio tranquillamente, se ritengo ve ne siano le circostanze) non termina così il proprio post.
Non ho mai pensato che i messaggi scritti in un forum equivalgano ad una prova d'esame. Anche se cerco di evitare errori, se ne faccio non mi sento morire per questo. Come vale per karl, che lo aveva mostrato ampiamente con la sua promessa di astinenza da gelato.
Uno non può essere certo accuato di essere vigliacco per questo. Né mi sembrano termini da usare, date le circostanze.
Mi scuso con tutti i forumisti per la mia parte di responsabilità nell'avere stimolato qualcuno ad oltrepassare le righe.
D'altronde, il mio post nell'altro thread si concludeva con: "Buon flame a tutti" per cui forse si poteva capire che ero consapevole di essere un po' brusco. Se uno vuole offendere o essere duro (ultima cosa, questa, che faccio tranquillamente, se ritengo ve ne siano le circostanze) non termina così il proprio post.
Non ho mai pensato che i messaggi scritti in un forum equivalgano ad una prova d'esame. Anche se cerco di evitare errori, se ne faccio non mi sento morire per questo. Come vale per karl, che lo aveva mostrato ampiamente con la sua promessa di astinenza da gelato.
"Fioravante Patrone":
Non mi sembra un argomento dirimente il fatto che uno usi un nickname in un forum, come è tradizione e suo diritto.
Uno non può essere certo accuato di essere vigliacco per questo. Né mi sembrano termini da usare, date le circostanze.
Neanche insultare senza dire chi sei è da vigliacchi? Mah! Ho i miei dubbi su questo. Comunque mi atterrò alle regole del forum, almeno io, cioè ignorerò chi mi dà fastidio, giusto? Mi aspetto però che i moderatori facciano la loro parte.
Non mi e' chiaro come calcoli l'area nel 3° caso.
Per quanto mi riguarda ho ragionato come segue nel 3° caso
(che sembra l'unico possibile).
Poniamo CM=x,CN=y.Dalla similitudine dei triangoli ABC e CMH ho:
$(4):(MH)=(5) : (x)$ da cui $MH=4/5x$.
Pertanto ho il sistema:
$x+y=6,1/2y*4/5x=3$ --->$x+y=6,xy=15/2$ da cui si ricava la soluzione
che ho indicato e che mi pare esatta.
Infatti :
$CN+CM=(6-sqrt6)/2+(6+sqrt6)/2=6$
$MH=4/5*(6+sqrt6)/2=2/5(6+sqrt6)$ e quindi
$Area(CMN)=1/2*2/5(6+sqrt6)*(6-sqrt6)/2=3$
Saluti.
karl
P.S.
Questo non vale per Laura.Non conosco software capaci di risolvere
un tal problema.L'unico programma in grado di rispondere a qualche
questione di questo tipo (anche se solo di analitica) e' il mio e qualcuno lo puo'
trovare su questo forum sulla pagina iniziale e nella sezione recupero.
E' sotto il nome di Carlo Lorito benche' io mi chiami Lorenzo Lorito.
Hai ragione, avevo fatto un errore; purtroppo in casa ho sempre i bambini che litigano o mi chiamano ogni 3 minuti esatti, quindi la concentrazione va a farsi benedire... immagino che tu mi possa comprendere eheheh 
D'ora in poi risolverò problemi solo ed esclusivamente di notte, quando loro dormono; sempre che mio marito non se ne abbia a male che passo le nottate a risolvere problemi matematici.......
Meno male che quando siamo a scuola non abbiamo i bambini appresso...
D'ora in poi risolverò problemi solo ed esclusivamente di notte, quando loro dormono; sempre che mio marito non se ne abbia a male che passo le nottate a risolvere problemi matematici.......
Meno male che quando siamo a scuola non abbiamo i bambini appresso...
Lo correggo:
AC=3, AB=4 e BC=5.Si presentano 3 casi:
1) M su BC e N su AB
2) M su AB e N su AC
3) M su BC e N su AC.
Mi sono calcolata l'area e il perimetro di ABC:
S=6 e 2p=12; quindi le due aree dovranno essere $S_1=S_2=3$ e i confini bagnati dal fiume entrambi uguali a 6.
Cominciamo in ordine:
1) Pongo NB=x e MB=y; quindi $AN =4-x$ e $MC=5-y$
quindi dovrò risolvere il sistema simmetrico:
${(x+y=6),(xy=10):}$ che ha delta negativo, quindi questo primo caso non ha soluzione;
2) Pongo AN=x e AM=y; quindi il sistema è:
${(x+y=6),(xy=6):}$
che dà come soluzione non accettabile:
$x=3-sqrt3$ e $y=3+sqrt3$
non accettabile perchè $3+sqrt3>4$
3) Pongo NC=x e CM=y; il sistema che devo risolvere è:
${(x+y=6),(xy=15/2):}
che dà come soluzione accettabile:
$x=(6+sqrt6)/2$ e $y=(6-sqrt6)/2$
Quindi il 3 è l'unico caso possibile.
P.S. L'area l'ho calcolata con la formula trigonometrica del seno dell'angolo compreso.
AC=3, AB=4 e BC=5.Si presentano 3 casi:
1) M su BC e N su AB
2) M su AB e N su AC
3) M su BC e N su AC.
Mi sono calcolata l'area e il perimetro di ABC:
S=6 e 2p=12; quindi le due aree dovranno essere $S_1=S_2=3$ e i confini bagnati dal fiume entrambi uguali a 6.
Cominciamo in ordine:
1) Pongo NB=x e MB=y; quindi $AN =4-x$ e $MC=5-y$
quindi dovrò risolvere il sistema simmetrico:
${(x+y=6),(xy=10):}$ che ha delta negativo, quindi questo primo caso non ha soluzione;
2) Pongo AN=x e AM=y; quindi il sistema è:
${(x+y=6),(xy=6):}$
che dà come soluzione non accettabile:
$x=3-sqrt3$ e $y=3+sqrt3$
non accettabile perchè $3+sqrt3>4$
3) Pongo NC=x e CM=y; il sistema che devo risolvere è:
${(x+y=6),(xy=15/2):}
che dà come soluzione accettabile:
$x=(6+sqrt6)/2$ e $y=(6-sqrt6)/2$
Quindi il 3 è l'unico caso possibile.
P.S. L'area l'ho calcolata con la formula trigonometrica del seno dell'angolo compreso.
la 'nostra' laura dimostra un notevole acume dandomi del vigliacco per ragioni che solo lei sa, dal momento che per la proprietà transitiva mezzo forum e anche lo stesso karl fino a poco tempo fa seguendo lo sragionamento di laura si comportava da vigliacco, io ritengo vigliacco l'esatto opposto chi ha per nick il proprio nome e non quello di un matematico famoso (ci vuole fegato per quello eh?) e poi insulta liberamente senza motivo dal momento che su un forum il nick vale ben poco: ditemi voi chi è il vigliacco.
Guill
Guill
Diamoci un taglio con le ritorsioni.
Mustafa' il giusto e gli utenti ingiusti....hehe....
Leggo in ritardo il quesito e comunque la mia linea risolutiva
coincide sostanzialmente con quella di Laura.
Vi propongo un'interessante proprietà sul tipo di sezionamento
appena visto, ma riguardante tutti i triangoli:
Se una retta attraversa un triangolo e ne divide a metà l'area
e il perimetro, essa passa anche per il relativo incentro.
Come si può dimostrare questo fatto?
Ciao a tutti
coincide sostanzialmente con quella di Laura.
Vi propongo un'interessante proprietà sul tipo di sezionamento
appena visto, ma riguardante tutti i triangoli:
Se una retta attraversa un triangolo e ne divide a metà l'area
e il perimetro, essa passa anche per il relativo incentro.
Come si può dimostrare questo fatto?
Ciao a tutti
Non mi ero proprio accorto di questo quesito cosi' carino
(vedi nota a pie' pagina...)
Siano:
ABC il triangolo,MN la retta in questione ,R l'intersezione di MN con la
bisettrice dell'angolo in BAC ed infine RH ed RK le distanze (uguali) di R dai lati
AB e AC.
Si ha :
Area(AMN)=1/2*AM*RH+1/2*AN*RK=1/2*RH*(AM+AN)=1/2*RH*p
[in quanto per ipotesi AM+AN=semiperimetro(ABC)]
Ora ,sempre per ipotesi,e' Area(AMN)=1/2*Area(ABC) e dunque:
1/2*RH*p=1/2*Area(ABC) da cui RH=Area(ABC)/p
Pertanto RH=RK e' l' "inraggio" e quindi R e' l'incentro di ABC.
N.B.
Si definisce "carino" un quesito quando lo si sa fare,altrimenti
si dice che e' "bruttino","poco interessante","noioso","repellente","scopiazzato"
e cosi' via.....
karl
Bella
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo