Moto armonico
Premetto che io non so nulla di fisica, non l'ho studiata alle superiori ed ora frequento economia. Apro questo thread perché sto ripassando le funzioni trigonometriche e mi piacerebbe capirne l'applicabilità da qualche parte (in questo caso in fisica).
Considero un punto $P(x,y)$ che si muove con velocità angolare costante $omega$ lungo una circonferenza. L'angolo $theta$, formato dal raggio e dell'asse delle x, varia nel tempo secondo $theta(t) = omega t$. Le proiezioni $P_x$ e $P_y$ sugli assi hanno coordinate:
$P_x(t) = (Rcos(omega t); 0)$
$P_y(t) = (0; R*sen (omega t)$,
dove $R$ è il raggio della circonferenza e $t$ il tempo. Fin qui nulla che non possa capire.
La velocità dell'angolo $theta$ rimane costante (il raggio ruota a velocità costante), ma la velocità tangenziale (che immagino sia quella del punto $P$ appartenente alla circonferenza), istante dopo istante, deve cambiare direzione (qui immagino che la velocità sia un vettore e questo punto $P$ per rimanere nella circonferenza debba cambiare ogni volta direzione, intuitivo anche questo) pur mantenendo il modulo costante: quindi si dice che il moto di $P_x$ e $P_y$ è accelerato. Potreste spiegarmi meglio questa cosa.
L'accelerazione ha modulo $omega^2R$ (perché?) ed è un vettore diretto verso il centro. Le sue componenti sono:
$a_x(t) = -omega^2* R cos(theta) (t) = -omega^2 * R cos(omegat)$
$a_y(t) = -omega^2*R sen(theta)(t) = - omega^2* R sen (omegat)$.
Potreste spiegarmi perché le componenti dell'accelerazione sono proprio quelle? E perché il modulo dell'accelerazione è $omega^2R$.
Grazie in anticipo.
Considero un punto $P(x,y)$ che si muove con velocità angolare costante $omega$ lungo una circonferenza. L'angolo $theta$, formato dal raggio e dell'asse delle x, varia nel tempo secondo $theta(t) = omega t$. Le proiezioni $P_x$ e $P_y$ sugli assi hanno coordinate:
$P_x(t) = (Rcos(omega t); 0)$
$P_y(t) = (0; R*sen (omega t)$,
dove $R$ è il raggio della circonferenza e $t$ il tempo. Fin qui nulla che non possa capire.
La velocità dell'angolo $theta$ rimane costante (il raggio ruota a velocità costante), ma la velocità tangenziale (che immagino sia quella del punto $P$ appartenente alla circonferenza), istante dopo istante, deve cambiare direzione (qui immagino che la velocità sia un vettore e questo punto $P$ per rimanere nella circonferenza debba cambiare ogni volta direzione, intuitivo anche questo) pur mantenendo il modulo costante: quindi si dice che il moto di $P_x$ e $P_y$ è accelerato. Potreste spiegarmi meglio questa cosa.
L'accelerazione ha modulo $omega^2R$ (perché?) ed è un vettore diretto verso il centro. Le sue componenti sono:
$a_x(t) = -omega^2* R cos(theta) (t) = -omega^2 * R cos(omegat)$
$a_y(t) = -omega^2*R sen(theta)(t) = - omega^2* R sen (omegat)$.
Potreste spiegarmi perché le componenti dell'accelerazione sono proprio quelle? E perché il modulo dell'accelerazione è $omega^2R$.
Grazie in anticipo.
Risposte
Volevi scrivere $\omega^2 R$ anziché $\omega R^2$. Hai le leggi del moto lungo $x$ e $y$, perciò le componenti dell'accelerazione si ottengono derivando tali leggi del moto due volte rispetto a $t$; inoltre, dato un vettore $v=(v_1,v_2)$ in $\mathbb{R}^2$, il suo modulo è definito da $|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$. Con queste informazioni dovresti concludere, ma se hai dubbi chiedi pure!
"Mephlip":
Volevi scrivere $\omega^2 R$ anziché $\omega R^2$.
Sì, correggo subito per chiarire meglio il messaggio.
"Mephlip":
Hai le leggi del moto lungo $x$ e $y$, perciò le componenti dell'accelerazione si ottengono derivando tali leggi del moto due volte rispetto a $t$
Credo di potercela fare. E quali sono le componenti delle leggi del moto da derivare due volte? Grazie in anticipo!
Edit: mi sa che sono quelle che ho scritto all'inizio, che scemo che sono
.
Prego! Sono quelle che hai chiamato $P_x$ e $P_y$.
Ma quindi, ad esempio, quando $P$ si trova a $pi/2$ il modulo di $a_x$ è minimo e quello di $a_y$ è massimo, giusto?
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