Monomi e polinomi contenenti frazioni
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere quattro espressioni ma ad un certo punto non sono come continuare.
Desidererei un aiuto, grazie.
Ecco la prima.
$(-1/2am)^3+(-1/3am)^2-3a(-a^2)(-1/6m^3)$ Risultato$[-5/8a^3m^3+1/9a^2m^2]$
Ho fatto così:
$-1/8a^3m^3+1/9a^2m^2-3a*a^2*(-1/6m^3)$
$-1/8a^3m^3+1/9a^2m^2+(3*1*1/6)a^(1+2)m^3$
$(9+8)/56$
e poi ho lasciato perdere perché il risultato è molto lontano dai numeri che vengono a me...
sto cercando di risolvere quattro espressioni ma ad un certo punto non sono come continuare.
Desidererei un aiuto, grazie.
Ecco la prima.
$(-1/2am)^3+(-1/3am)^2-3a(-a^2)(-1/6m^3)$ Risultato$[-5/8a^3m^3+1/9a^2m^2]$
Ho fatto così:
$-1/8a^3m^3+1/9a^2m^2-3a*a^2*(-1/6m^3)$
$-1/8a^3m^3+1/9a^2m^2+(3*1*1/6)a^(1+2)m^3$
$(9+8)/56$
e poi ho lasciato perdere perché il risultato è molto lontano dai numeri che vengono a me...
Risposte
4
$(5x^2-1)^2=$
$25x^2+1-(2*5*1)x=25x^2+1-10x$
$(5x^2-1)^2=$
$25x^2+1-(2*5*1)x=25x^2+1-10x$
5
$(3-2a^2)^2=$
$9+4a^2-(2*3*2)a=9+4a^4-12$
$(3-2a^2)^2=$
$9+4a^2-(2*3*2)a=9+4a^4-12$
"emilio.v":
NB: questo libro usa la scrittura
$(a+-b)^2 = a^2+b^2+-2ab$
e non un'altra scrittura che mi è stata spiegata da un amico:
$(a+-b)^2 = a^2+-2ab+b^2$
Sono uguali: nella seconda il $+- 2ab$ sta prima, ma non cambia nulla.
L'1, il 2 sono corretti.
Sul 3 ti dimentichi un $x$ quando calcoli il doppio prodotto, cioè quando fai $(2\cdot 1 \cdot 1) ab$ ci manca la $x$ (oltre che c'è qualche svista in seguito).
Il 4 è ok.
PS: invece di scrivere un intervento ad esercizio, raggruppane di più in ogni post in modo da fare anche ordine.
6
$(a-1/2)^2=$
$a^2+1/4-(2*1*1/2)a=a^2+1/4-a$
$(a-1/2)^2=$
$a^2+1/4-(2*1*1/2)a=a^2+1/4-a$
7
$(2/3a-1)^2=$
$4/9a^2+1-(2*2/3*1)a=4/9a^2+1-4/3a$
$(2/3a-1)^2=$
$4/9a^2+1-(2*2/3*1)a=4/9a^2+1-4/3a$
"emilio.v":
5
$(3-2a^2)^2=$
$9+4a^2-(2*3*2)a=9+4a^4-12$
Fai lo stesso errore che ti ho detto nell'altro post, cioè qui
$-(2*3*2)a$
dimentichi che l'altro termine ha $a^2$ come parte letterale (poi non lo riporti sulla somma finale, dovresti avere $9+4a^4-12a^2$).
... e questo è l'ultimo 
8
$(3x^2-1/2y)^2=$
$9x^4+1/4y^2-(2*3*1/2)xy=9x^4+1/4y^2-3xy$
8
$(3x^2-1/2y)^2=$
$9x^4+1/4y^2-(2*3*1/2)xy=9x^4+1/4y^2-3xy$
"emilio.v":
... e questo è l'ultimo
8
$(3x^2-1/2y)^2=$
$9x^4+1/4y^2-(2*3*1/2)xy=9x^4+1/4y^2-3xy$
Anche qui... fai vedere come calcoli il $+- 2ab$?
Cioè chi è $a$ e chi è $b$ in questo caso.
Ciao Zero87,
veramente ho scritto apposta un esercizio per ciascun intervento in modo da avere delle risposte "selettive" sul singolo esercizio.
Cmq grazie per i tuoi interventi.
veramente ho scritto apposta un esercizio per ciascun intervento in modo da avere delle risposte "selettive" sul singolo esercizio.
Cmq grazie per i tuoi interventi.
"Zero87":
[quote="emilio.v"]... e questo è l'ultimo
8
$(3x^2-1/2y)^2=$
$9x^4+1/4y^2-(2*3*1/2)xy=9x^4+1/4y^2-3xy$
Anche qui... fai vedere come calcoli il $+- 2ab$?
Cioè chi è $a$ e chi è $b$ in questo caso.
[/quote]Se non ho capito male, la formula per la soluzione è così:
$a^2$=$(3x^2)^2$
$b^2$=($-1/2y)^2$
mentre $2ab$ è:
$2*(3*1/2)$, quindi considerando solo i coeff. numerici.
Dico bene o sbaglio?
"emilio.v":
mentre $2ab$ è:
$2*(3*1/2)$, quindi considerando solo i coeff. numerici.
Dico bene o sbaglio?
A parte i coefficienti numerici (la parte letterale intendo)?
"Zero87":
A parte i coefficienti numerici (la parte letterale intendo)?
Non ho capito...
Ah, forse ho capito.
Devo considerare le lettere con i loro esponenti se sono dentro le parentesi, quindi:
a=$x^2$
b=$y$
O no?
Devo considerare le lettere con i loro esponenti se sono dentro le parentesi, quindi:
a=$x^2$
b=$y$
O no?
"emilio.v":
Ah, forse ho capito.
Devo considerare le lettere con i loro esponenti se sono dentro le parentesi, quindi:
a=$x^2$
b=$y$
O no?
Infatti $(3x^2-1/2 y)^2 = 9x^4 +1/4 y^2 -3x^2 y $...
e se vuoi la controprova puoi calcolarlo come prodotto in generale
$(3x^2-1/2 y)^2= (3x^2-1/2 y)(3x^2-1/2 y)= 9x^4 -3/2 x^2 y -3/2 x^2 y +1/4 y^2= 9x^4 -3x^2 y +1/4 y^2$
che è lo stesso risultato visto prima (a parte che il $-3x^2 y$ sta al centro invece che alla fine, ma non cambia).
Il calcolo come prodotto in generale te l'ho dato solo come controprova perché qui vale il fatto che devi usare i prodotti notevoli.
EDIT
Dimenticavo di dirti di ricontrollare anche gli altri.
Ragazzi c'è un problema di fondo: è meglio evitare di fare tutto in modo estremamente meccanico! $(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2$ è vero, ma non puoi permetterti di sbagliare, se sbagli è perché stai facendo qualcosa meccanicamente.
Capire come arrivare a quel risultato è molto semplice.
Ricordiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: $a(b + c) = ab + ac$. Esempio: $3*12 = 3*(10 + 2) = 3*10 + 3*2 = 30 + 6 = 36$. Usi questa proprietà, per esempio, quando fai la moltiplicazione in colonna. Ti faccio notare che puoi applicarla anche più volte, ad esempio $12 * 15 = (10 + 2)*(10 + 5) = (10 + 2)*10 + (10 + 2)*5 = $
$=10*10+2*10+10*5+2*5=100+20+50+10=180$.
Proviamo ad usare questa proprietà per espandere $(a+b)^2$ (per il momento non pensiamo a $pm$).
Per la definizione di potenza, $(a+b)^2=(a+b)*(a+b)$.
Usiamo ora la proprietà distributiva: $(a+b)*(a+b) = (a+b)*a + (a+b)*b$
Possiamo anche usarla un'altra volta: $(a+b)*a + (a+b)*b = a*a + b*a + a*b + b*b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
E da qui non posso espandere di più.
Notiamo ora che possiamo usare questa formula anche per calcolare $(a-b)^2$.
Infatti $(a-b)^2 = (a+(-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Quindi possiamo concludere che:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Ora possiamo comprimere queste due formule in un'unica formula: $(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2$.
Spero che questo ti renda chiaro questa "formula".
Capire come arrivare a quel risultato è molto semplice.
Ricordiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: $a(b + c) = ab + ac$. Esempio: $3*12 = 3*(10 + 2) = 3*10 + 3*2 = 30 + 6 = 36$. Usi questa proprietà, per esempio, quando fai la moltiplicazione in colonna. Ti faccio notare che puoi applicarla anche più volte, ad esempio $12 * 15 = (10 + 2)*(10 + 5) = (10 + 2)*10 + (10 + 2)*5 = $
$=10*10+2*10+10*5+2*5=100+20+50+10=180$.
Proviamo ad usare questa proprietà per espandere $(a+b)^2$ (per il momento non pensiamo a $pm$).
Per la definizione di potenza, $(a+b)^2=(a+b)*(a+b)$.
Usiamo ora la proprietà distributiva: $(a+b)*(a+b) = (a+b)*a + (a+b)*b$
Possiamo anche usarla un'altra volta: $(a+b)*a + (a+b)*b = a*a + b*a + a*b + b*b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
E da qui non posso espandere di più.
Notiamo ora che possiamo usare questa formula anche per calcolare $(a-b)^2$.
Infatti $(a-b)^2 = (a+(-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Quindi possiamo concludere che:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Ora possiamo comprimere queste due formule in un'unica formula: $(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2$.
Spero che questo ti renda chiaro questa "formula".
Benissimo. Grazie a Zero87 per l'aiuto.
---
@ Pianoth
Io faccio di tutto per rendere le mie abilità più meccaniche che posso.
Anzi, aggiungo: più che "meccanico", vorrei fare quegli esercizi col pilota automatico!
Non per contraddirti, ci mancherebbe (non è mio desiderio), ma tutti quei passaggi da te inseriti per la dimostrazione non sono forse più suscettibili di errori?
---
@ Pianoth
Io faccio di tutto per rendere le mie abilità più meccaniche che posso.
Anzi, aggiungo: più che "meccanico", vorrei fare quegli esercizi col pilota automatico!
Non per contraddirti, ci mancherebbe (non è mio desiderio), ma tutti quei passaggi da te inseriti per la dimostrazione non sono forse più suscettibili di errori?
Pianoth, sono completamente d'accordo con te, dalla prima all'ultima parola. Sono da sempre contro la "meccanicità" delle formule soprattutto per un apprendimento alla "è meglio farne di meno di cose ma capirle"...
... ma non mi sono espresso con i tuoi termini solo perché alle superiori la norma è formata da esercizi in cui si dice "risolvili applicando tot formula" (aggiungerei "imparata a memoria"), per questo non mi sono messo a fare un discorso che come è tuo, è anche mio
.
Quindi ho mirato nel far capire come applicare la formula piuttosto che capirne il perché: secondo me non è giusto, ma se la didattica è questa... che possiamo farci noi?
Poi certo, prima di andare OT, un discorso del genere lo si potrebbe fare nella sezione generale. Nel forum ci sono fior fior di professori qualificati e autorevoli (in senso buono) che potranno dirci la loro.
... ma non mi sono espresso con i tuoi termini solo perché alle superiori la norma è formata da esercizi in cui si dice "risolvili applicando tot formula" (aggiungerei "imparata a memoria"), per questo non mi sono messo a fare un discorso che come è tuo, è anche mio
.Quindi ho mirato nel far capire come applicare la formula piuttosto che capirne il perché: secondo me non è giusto, ma se la didattica è questa... che possiamo farci noi?
Poi certo, prima di andare OT, un discorso del genere lo si potrebbe fare nella sezione generale. Nel forum ci sono fior fior di professori qualificati e autorevoli (in senso buono) che potranno dirci la loro.
@emilio.v
Ecco, è questo il problema: tu devi imparare la formula $(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2$, ma non la devi applicare meccanicamente, devi averla capita prima... È chiaro che se devi espandere tipo $(10x - 3/7abc)^2$ non devi fare tutti i passaggi, devi usare questa formula e te la devi ricordare. Però non puoi poi confonderti con i segni, se ti confondi è perché non hai capito la formula. Capito il concetto?
Inoltre non bisognerebbe mai imparare a fare le cose in modo completamente automatico... Quando dovrai imparare cose veramente difficili, non potrai impararle a memoria, le dovrai capire, altrimenti non riuscirai a fare niente. Inoltre applicando le formule in modo meccanico non riuscirai mai a risolvere problemi un po' fuori dagli standard, e questo potrà darti problemi alle Invalsi, per esempio... Insomma ci sono tantissime ragioni: ragiona!
@Zero
Sappilo, in classe mia alle superiori, colpa della professoressa, eravamo sì e no 5 o 6 bravi in matematica. Indovina un po'? Verso la fine dell'anno mi misi a fare delle sottospecie di lezioni private ai miei coetanei e presero praticamente tutti voti alti alle ultime verifiche scritte e orali (quelli che presero voti bassi erano proprio quelli imparavano tutto a memoria e applicavano le regole "con i para-occhi"... Coincidenza?)
Ecco, è questo il problema: tu devi imparare la formula $(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2$, ma non la devi applicare meccanicamente, devi averla capita prima... È chiaro che se devi espandere tipo $(10x - 3/7abc)^2$ non devi fare tutti i passaggi, devi usare questa formula e te la devi ricordare. Però non puoi poi confonderti con i segni, se ti confondi è perché non hai capito la formula. Capito il concetto?
Inoltre non bisognerebbe mai imparare a fare le cose in modo completamente automatico... Quando dovrai imparare cose veramente difficili, non potrai impararle a memoria, le dovrai capire, altrimenti non riuscirai a fare niente. Inoltre applicando le formule in modo meccanico non riuscirai mai a risolvere problemi un po' fuori dagli standard, e questo potrà darti problemi alle Invalsi, per esempio... Insomma ci sono tantissime ragioni: ragiona!
@Zero
Sappilo, in classe mia alle superiori, colpa della professoressa, eravamo sì e no 5 o 6 bravi in matematica. Indovina un po'? Verso la fine dell'anno mi misi a fare delle sottospecie di lezioni private ai miei coetanei e presero praticamente tutti voti alti alle ultime verifiche scritte e orali (quelli che presero voti bassi erano proprio quelli imparavano tutto a memoria e applicavano le regole "con i para-occhi"... Coincidenza?)
Calma, Pianoth, come ho detto ti capisco, però stai tranquillo: emilio.v è solo figlio di un sistema d'istruzione che ho paura sia la norma.
Se contassi quanto la Gelmini (aspetta, chi è che ci sta ora all'istruzione?) avevo già provveduto a mettere le mani a qualche sistema didattico di questo tipo alle superiori.
Tra l'altro è uno dei "contro" più grossi nell'imparare a memoria.
Come ho detto anche prima, sai che la penso anche io come te. Però oggi vai ad aprire un (qualsiasi) libro di testo o vai a dire a (molti) professori che spiegano "per formule" questa cosa che hai detto...!
Le cose vanno capite ma quando ti ritrovi in classe con prof/libro/entrambi che ti dicono "hai questo e la formula è questa, applicala" non penso che qualcuno abbia voglia di capirle: oltre che in una qualsiasi scuola superiore si hanno almeno 6-7 materie differenti che ti fanno anche mancare la voglia di fermarsi a capirle tutte!
Funziona così anche all'università, ma in genere ovunque.
Comunque non risponderò più, si è capito abbastanza il mio pensiero. Seppur per giusta causa, qui si rischia una gran tirata d'orecchie da parte dei moderatori perché dire che stiamo andando un po' OT è un eufemismo.
Comunque, cercando di tornare un pizzichino più IT, posso assicurare che la maggior parte (non dico "tutte" perché ho sempre paura che mi sfugge qualcosa) delle formule per i prodotti notevoli si ricavano semplicemente dalle moltiplicazioni: poi, una volta apprese e capite, servono apposta per "accorciare" il lavoro.
Se contassi quanto la Gelmini (aspetta, chi è che ci sta ora all'istruzione?) avevo già provveduto a mettere le mani a qualche sistema didattico di questo tipo alle superiori.
"Pianoth":
Però non puoi poi confonderti con i segni, se ti confondi è perché non hai capito la formula. Capito il concetto?
Tra l'altro è uno dei "contro" più grossi nell'imparare a memoria.
"Pianoth":
Inoltre non bisognerebbe mai imparare a fare le cose in modo completamente automatico... Quando dovrai imparare cose veramente difficili, non potrai impararle a memoria, le dovrai capire, altrimenti non riuscirai a fare niente. Inoltre applicando le formule in modo meccanico non riuscirai mai a risolvere problemi un po' fuori dagli standard, e questo potrà darti problemi alle Invalsi, per esempio... Insomma ci sono tantissime ragioni: ragiona!
Come ho detto anche prima, sai che la penso anche io come te. Però oggi vai ad aprire un (qualsiasi) libro di testo o vai a dire a (molti) professori che spiegano "per formule" questa cosa che hai detto...!
Le cose vanno capite ma quando ti ritrovi in classe con prof/libro/entrambi che ti dicono "hai questo e la formula è questa, applicala" non penso che qualcuno abbia voglia di capirle: oltre che in una qualsiasi scuola superiore si hanno almeno 6-7 materie differenti che ti fanno anche mancare la voglia di fermarsi a capirle tutte!
"Pianoth":
Verso la fine dell'anno mi misi a fare delle sottospecie di lezioni private ai miei coetanei e presero praticamente tutti voti alti alle ultime verifiche scritte e orali (quelli che presero voti bassi erano proprio quelli imparavano tutto a memoria e applicavano le regole "con i para-occhi"... Coincidenza?)
Funziona così anche all'università, ma in genere ovunque.
Comunque non risponderò più, si è capito abbastanza il mio pensiero. Seppur per giusta causa, qui si rischia una gran tirata d'orecchie da parte dei moderatori perché dire che stiamo andando un po' OT è un eufemismo.
Comunque, cercando di tornare un pizzichino più IT, posso assicurare che la maggior parte (non dico "tutte" perché ho sempre paura che mi sfugge qualcosa) delle formule per i prodotti notevoli si ricavano semplicemente dalle moltiplicazioni: poi, una volta apprese e capite, servono apposta per "accorciare" il lavoro.
Zero sono molto più calmo di quanto credi, forse non sembrava a causa di tutti i grassetti che ho messo e la mancanza di faccine Comunque non voglio che ci sia un fraintendimento: può capitare a tutti di sbagliare qualche segno, e va bene anche postare qui se proprio a causa di un errore "stupido" come quello non si riesce ad arrivare alla soluzione corretta, però quando ci si rende conto che si sbaglia continuamente la stessa cosa allora non può essere un caso e bisogna capire cosa si sta sbagliando. Spero di non avere sconvolto nessuno
Comunque non voglio che ci sia un fraintendimento: può capitare a tutti di sbagliare qualche segno, e va bene anche postare qui se proprio a causa di un errore "stupido" come quello non si riesce ad arrivare alla soluzione corretta, però quando ci si rende conto che si sbaglia continuamente la stessa cosa allora non può essere un caso e bisogna capire cosa si sta sbagliando. Spero di non avere sconvolto nessuno
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