Moltiplicazione in Z
Dati due numeri $ a $ e $ b $, moltiplicare $ a $ per $ b $,consiste nell'addizionare il numero $ a $ per $ b $ volte; quindi posso scrivere $ 3*4=3+3+3+3 $. Volendo scrivere in termini equivalenti $ (-3)*(-4) $,come si fa? Come si procede volendo scrivere questo prodotto "in forma estesa"?
Risposte
Non puoi farlo "nello stesso modo". Nel senso che la definizione di moltiplicazione sui numeri interi positivi è appunto quella che hai detto te, ovvero
\[ n \cdot m = \underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}} \]
Ma questo vale solo quando appunto \(n,m \in \mathbb{N} \). Quando \( n,m \in \mathbb{Z} \) diventa una generalizzazione astratta che "perde questo senso". Figurarsi poi se la vedi in \( \mathbb{R} \) ancor di più cosa significa \( \sqrt{2} \cdot \pi \overbrace{=}^{??} \underbrace{\sqrt{2}+ \ldots + \sqrt{2}}_{\pi \text{ volte}} \)
cosa dovrebbe significare esattamente sommare \( \pi\)-volte un numero non è chiaro! Idem per i negativi.
Per definire la moltiplicazione su \( \mathbb{Z} \) tra interi si definisce (in modo astratto) semplicemente il significato moltiplicare un numero \( n \in \mathbb{N} \) per \( -1 \). Nel seguente modo (si definisce!)
\[ (-1) \cdot n = -n \]
dove \(-n \) è l'inverso additivo di \(n \). Quindi moltiplicazione tra numeri negativi si può vedere come moltiplicazione di \(-1\) con moltiplicazione di interi positivi.
Se proprio ci tieni, puoi vederla così
\[ (-n ) \cdot (-m) \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} (-1) \cdot n \cdot (-1) \cdot m \]
\[ \overset{\text{proprietà commutativa}}{=} (-1) \cdot (-1) \cdot n \cdot m \]
\[\overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} 1 \cdot n \cdot m \]
\[ \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli positivi}}{=} \underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}} \]
oppure
\[ (-n ) \cdot m \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} (-1) \cdot n \cdot m \]
\[ \ \ \ \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli positivi}}{=} (-1) \cdot (\underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}}) \]
\[ \ \ \ \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} -(\underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}}) \]
Discorso diverso è per la moltiplicazione su \( \mathbb{Q} \) e su \( \mathbb{R} \). La moltiplicazione in un insieme più grande se vuoi è una moltiplicazione "diversa" definita in modo che ristretta all'insieme più piccolo coincida con l'altra.
\[ n \cdot m = \underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}} \]
Ma questo vale solo quando appunto \(n,m \in \mathbb{N} \). Quando \( n,m \in \mathbb{Z} \) diventa una generalizzazione astratta che "perde questo senso". Figurarsi poi se la vedi in \( \mathbb{R} \) ancor di più cosa significa \( \sqrt{2} \cdot \pi \overbrace{=}^{??} \underbrace{\sqrt{2}+ \ldots + \sqrt{2}}_{\pi \text{ volte}} \)
cosa dovrebbe significare esattamente sommare \( \pi\)-volte un numero non è chiaro! Idem per i negativi.
Per definire la moltiplicazione su \( \mathbb{Z} \) tra interi si definisce (in modo astratto) semplicemente il significato moltiplicare un numero \( n \in \mathbb{N} \) per \( -1 \). Nel seguente modo (si definisce!)
\[ (-1) \cdot n = -n \]
dove \(-n \) è l'inverso additivo di \(n \). Quindi moltiplicazione tra numeri negativi si può vedere come moltiplicazione di \(-1\) con moltiplicazione di interi positivi.
Se proprio ci tieni, puoi vederla così
\[ (-n ) \cdot (-m) \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} (-1) \cdot n \cdot (-1) \cdot m \]
\[ \overset{\text{proprietà commutativa}}{=} (-1) \cdot (-1) \cdot n \cdot m \]
\[\overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} 1 \cdot n \cdot m \]
\[ \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli positivi}}{=} \underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}} \]
oppure
\[ (-n ) \cdot m \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} (-1) \cdot n \cdot m \]
\[ \ \ \ \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli positivi}}{=} (-1) \cdot (\underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}}) \]
\[ \ \ \ \overset{\text{definizione di moltiplicazione sugli interi}}{=} -(\underbrace{n+ \ldots + n}_{m \text{ volte}}) \]
Discorso diverso è per la moltiplicazione su \( \mathbb{Q} \) e su \( \mathbb{R} \). La moltiplicazione in un insieme più grande se vuoi è una moltiplicazione "diversa" definita in modo che ristretta all'insieme più piccolo coincida con l'altra.
Se vuoi dargli un interpretazione simile, forse riusciamo in questo modo. Cerchiamo di generalizzare
\[ n \cdot m = \underbrace{n+ \ldots + n }_{m\text{ volte} } \]
Prendi un foglio e fai dei disegni per far si che ti sia più chiaro quanto scritto qui sotto.
Considera sempre \(n,m \in \mathbb{N} \), quindi positivi.
- Costruiamo un rettangolo nel piano cartesiano con vertici \( (0,0),(m,0),(0,n) \) e \((m,n) \), la moltiplicazione ti da l'area di questo rettangolo, stai sommando l'area di \(m \) rettangolini di base \(1\) e di altezza \(n\).
- Ora se il rettangolo possiede vertici \( (0,0),(m,0),(0,-n) \) e \((m,-n) \)
in realtà il "\(-\)" è solo un orientazione del tuo rettangolo, l'area rimane la medesima no? Stai comunque sommando rettangolini di base \(1\) e di altezza \(n\), solo che in qualche modo hai "girato" il tuo rettangolo una volta, quindi ti da una sorta di direzione di come calcoli l'area, se ci metti un solo meno una direzione è invertita (quella in cui ha il meno).
- Idem se consideri un rettangolo di vertici \( (0,0),(-m,0),(0,n) \) e \((-m,n) \) stai calcolando l'area invertendo solo una direzione (in questo caso l'altra).
- Se ci metti "due meno" quindi il rettangolo ha vertici \( (0,0),(-m,0),(0,-n) \) e \((-m,-n) \) inverti due volte la direzione di come conti l'area e quindi è come se non la invertissi, no?
Spero di esser stato chiaro
Ps: In realtà è un'interpretazione che ho dato io adesso, ma perché non vedere già adesso le aree come somma di tanti piccoli rettangolini?! Chissà se poi questa cosa si generalizza ancora... mah
\[ n \cdot m = \underbrace{n+ \ldots + n }_{m\text{ volte} } \]
Prendi un foglio e fai dei disegni per far si che ti sia più chiaro quanto scritto qui sotto.
Considera sempre \(n,m \in \mathbb{N} \), quindi positivi.
- Costruiamo un rettangolo nel piano cartesiano con vertici \( (0,0),(m,0),(0,n) \) e \((m,n) \), la moltiplicazione ti da l'area di questo rettangolo, stai sommando l'area di \(m \) rettangolini di base \(1\) e di altezza \(n\).
- Ora se il rettangolo possiede vertici \( (0,0),(m,0),(0,-n) \) e \((m,-n) \)
in realtà il "\(-\)" è solo un orientazione del tuo rettangolo, l'area rimane la medesima no? Stai comunque sommando rettangolini di base \(1\) e di altezza \(n\), solo che in qualche modo hai "girato" il tuo rettangolo una volta, quindi ti da una sorta di direzione di come calcoli l'area, se ci metti un solo meno una direzione è invertita (quella in cui ha il meno).
- Idem se consideri un rettangolo di vertici \( (0,0),(-m,0),(0,n) \) e \((-m,n) \) stai calcolando l'area invertendo solo una direzione (in questo caso l'altra).
- Se ci metti "due meno" quindi il rettangolo ha vertici \( (0,0),(-m,0),(0,-n) \) e \((-m,-n) \) inverti due volte la direzione di come conti l'area e quindi è come se non la invertissi, no?
Spero di esser stato chiaro
Ps: In realtà è un'interpretazione che ho dato io adesso, ma perché non vedere già adesso le aree come somma di tanti piccoli rettangolini?! Chissà se poi questa cosa si generalizza ancora... mah
"3m0o":
Se vuoi dargli un interpretazione simile, forse riusciamo in questo modo. Cerchiamo di generalizzare
\[ n \cdot m = \underbrace{n+ \ldots + n }_{m\text{ volte} } \]
Prendi un foglio e fai dei disegni per far si che ti sia più chiaro quanto scritto qui sotto.
Considera sempre \(n,m \in \mathbb{N} \), quindi positivi.
- Costruiamo un rettangolo nel piano cartesiano con vertici \( (0,0),(m,0),(0,n) \) e \((m,n) \), la moltiplicazione ti da l'area di questo rettangolo, stai sommando l'area di \(m \) rettangolini di base \(1\) e di altezza \(n\).
- Ora se il rettangolo possiede vertici \( (0,0),(m,0),(0,-n) \) e \((m,-n) \)
in realtà il "\(-\)" è solo un orientazione del tuo rettangolo, l'area rimane la medesima no? Stai comunque sommando rettangolini di base \(1\) e di altezza \(n\), solo che in qualche modo hai "girato" il tuo rettangolo una volta, quindi ti da una sorta di direzione di come calcoli l'area, se ci metti un solo meno una direzione è invertita (quella in cui ha il meno).
- Idem se consideri un rettangolo di vertici \( (0,0),(-m,0),(0,n) \) e \((-m,n) \) stai calcolando l'area invertendo solo una direzione (in questo caso l'altra).
- Se ci metti "due meno" quindi il rettangolo ha vertici \( (0,0),(-m,0),(0,-n) \) e \((-m,-n) \) inverti due volte la direzione di come conti l'area e quindi è come se non la invertissi, no?
Spero di esser stato chiaro
Ps: In realtà è un'interpretazione che ho dato io adesso, ma perché non vedere già adesso le aree come somma di tanti piccoli rettangolini?! Chissà se poi questa cosa si generalizza ancora... mah
Intanto grazie per la risposta.
Quindi non esiste una definizione assoluta di moltiplicazione,ma nel caso dei numeri interi negativi abbiamo una definizione a sè stante;nonostante utilizziamo la parola "moltiplicazione" e lo stesso simbolo dell'operazione tra numeri interi positivi,stiamo eseguendo una operazione astratta che non ha legami con la moltiplicazione dei numeri interi positivi.
Mi confermi la validità di questo sunto?
Poi volevo chiedere anche questo: credo che la moltiplicazione "base" sia sorta in epoche antichissime per finalità pratiche e concrete,invece,quando e perchè si sentì la necessità di abbracciare quest'operazione astratta di moltiplicazione tra numeri interi negativi?
Intanto grazie per la risposta.
Quindi non esiste una definizione assoluta di moltiplicazione,ma nel caso dei numeri interi negativi abbiamo una definizione a sè stante;nonostante utilizziamo la parola "moltiplicazione" e lo stesso simbolo dell'operazione tra numeri interi positivi,stiamo eseguendo una operazione astratta che non ha legami con la moltiplicazione dei numeri interi positivi.
Mi confermi la validità di questo sunto?
Si e no... Il legame lo ha eccome. Il punto è questo: abbiamo un insieme di numeri, nel nostro caso \( \mathbb{N} \), e delle operazioni binarie su questo insieme, ad esempio appunto \( \times_{\mathbb{N}}\) che definiamo su \( \mathbb{N} \), ovvero gli diamo un significato (ci metto a pedice il simbolo dell'insieme per sottolineare dov'è definita). Ora consideriamo un insieme più grande ma che contiene il nostro insieme da cui siamo partiti, ad esempio \( \mathbb{Z} \). Anche in questo nuovo insieme voglio poter moltiplicare i numeri, ma in questo nuovo insieme ho dei nuovi oggetti (leggi numeri) per cui la definizione data inizialmente a \( \times_{\mathbb{N}}\) potrebbe non avere un significato su quei nuovi oggetti. Ma ho anche degli oggetti (numeri nuovamente) per cui un significato ce l'ho già!
Quello che fai quindi è estendere il significato della moltiplicazione che già possedevi e dare un significato anche per quei numeri nuovi che possiedi, ovvero dire cosa significa fare la moltiplicazione per quei nuovi numeri. Quindi stai dando un significato "più grande" se vuoi, potrebbe cambiare o non cambiare il suo significato, ma quello che è certo è che resta immutato se considerato solo sui numeri per cui avevi già un significato.
In che modo?
Vuoi definire \( \times_{\mathbb{Z}} \) ma chiaramente siccome \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) quello che richiedi è che se \(n,m \in \mathbb{N} \), quindi in particolare \( n,m \in \mathbb{Z} \) allora \( n \times_{\mathbb{Z}} m = n \times_{\mathbb{N}} m \), altrimenti avresti un problema.
Quindi la definizione che dai in \( \mathbb{Z} \) deve coincidere con la definizione che dai in \( \mathbb{N} \) se i due fattori sono numeri di \( \mathbb{N} \), se invece hai dei numeri in \( \mathbb{Z} \) che non sono in \( \mathbb{N} \) allora usi la definizione di moltiplicazione in \( \mathbb{Z} \) perché per questi numeri l'operazione definita su \( \mathbb{N} \) non ha significato. Non so se mi spiego...
Infatti se \(n \in \mathbb{Z} \) ma \( n \not\in \mathbb{N} \) allora non ha senso chiedersi cosa vale \( n \times_{\mathbb{N}} m \) poiché l'oggetto \( \times_{\mathbb{N}} \) ha significato solo quando sia \(n \) che \(m \) sono numeri interi positivi.
In modo più dettagliato quello che fai è
Definisci prima quindi cosa vuol dire moltiplicare per \(-1 \), dicendo che
\[ (-1) \times n = -n \]
a questo punto sai come moltiplicare due numeri naturali e come moltiplicare un numero naturale con il \(-1\) e questo ti basta per definire la moltiplicazione su tutto \( \mathbb{Z} \), ovvero come moltiplicare due numeri interi qualunque. Infatti una possibile definizione di \( \times_{\mathbb{Z} } \) può essere
-Se \(n,m \in \mathbb{N} \) allora definiamo \( n \times_{\mathbb{Z}} m = n \times_{\mathbb{N}} m \)
-Se \(n \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \) e \( m \in \mathbb{N} \) allora definiamo \( n \times_{\mathbb{Z}} m = (-1) \times ( (-n) \times_{\mathbb{N}} m) \)
-Se \(m \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \) e \( n \in \mathbb{N} \) allora definiamo \( n \times_{\mathbb{Z}} m = (-1) \times (n \times_{\mathbb{N}} (-m)) \)
-Se \(n,m \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \) allora definiamo \( n \times_{\mathbb{Z}} m = (-n) \times_{\mathbb{N}} (-m) \)
che è poi la regola dei segni. Quando alle medie ti dicono la regola dei segni, implicitamente ti stanno dicendo questa cosa qui.
"Più facile" estendere il significato di moltiplicazione anche a \( \mathbb{Q} \), infatti ti basta dire
\[ \frac{a}{b} \times_{\mathbb{Q}} \frac{c}{d} = \frac{a \times_{\mathbb{Z}} c}{b \times_{\mathbb{Z}} d} \]
in questo modo se \(b=d=1 \) allora puoi notare che
\[ \frac{a}{1} \times_{\mathbb{Q}} \frac{c}{1} = \frac{a \times_{\mathbb{Z}} c}{1 \times_{\mathbb{Z}} 1} = a \times_{\mathbb{Z}} c \]
e le due operazioni coincidono su \( \mathbb{Z} \).
Più difficile è estendere la moltiplicazione a \( \mathbb{R} \), entra in gioco quella che si chiama sezione di Dedekind.
"zaser123":
Poi volevo chiedere anche questo: credo che la moltiplicazione "base" sia sorta in epoche antichissime per finalità pratiche e concrete,invece,quando e perchè si sentì la necessità di abbracciare quest'operazione astratta di moltiplicazione tra numeri interi negativi?
Beh immagino sia una cosa che segue naturalmente la necessita di avere i numeri negativi. Nel momento che hai dei numeri vuoi poterci fare delle operazioni, se no li hai lì... belli belli... li osservi fin che vuoi, ma poi che te ne fai?
Non lo so a dirti la verità
Grazie mille per il tuo tempo 3m0o.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo