Minimizzare la superficie
Ciao a tutti ragazzi, mi è stato lasciato per caso il seguente esercizio:
La dispersione di calore di una borsa frigo termica dipende da vari fattori, uno dei quali è la sua superficie totale. Supponendo di voler produrre borse termiche della capacità di 27 litri a forma di parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b, determinare le dimensioni in millimetri in moda da minimizzarne la superficie..
Giuro che non ho idea da dove iniziare
La dispersione di calore di una borsa frigo termica dipende da vari fattori, uno dei quali è la sua superficie totale. Supponendo di voler produrre borse termiche della capacità di 27 litri a forma di parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b, determinare le dimensioni in millimetri in moda da minimizzarne la superficie..
Giuro che non ho idea da dove iniziare
Risposte
Vado ad intuito......
Secondo me la terza dimensione dovrebbe essere esattamente in mezzo alle altre due.
Pertanto $b=1,5a$
$a*1,5a*2a=27.000.000$
$3a^3=27.000.000$
$a^3=9.000.000$
$a=root3 (9.000.000)$
$a=100*root3 9$
Cioè circa $208mm$
Certo che se si potesse fare un cubo con 300 mm di spigolo, sarebbe meglio.........
P.S. Ho toppato. La facevo troppo semplice....
Secondo me la terza dimensione dovrebbe essere esattamente in mezzo alle altre due.
Pertanto $b=1,5a$
$a*1,5a*2a=27.000.000$
$3a^3=27.000.000$
$a^3=9.000.000$
$a=root3 (9.000.000)$
$a=100*root3 9$
Cioè circa $208mm$
Certo che se si potesse fare un cubo con 300 mm di spigolo, sarebbe meglio.........
P.S. Ho toppato. La facevo troppo semplice....
ciao Sangi89
Allora anzitutto il volume... 27 litri sono 27 $dm^3$
E il volume è dato dal prodotto dei 3 lati
$V=a 2a b= 2a^2b=27$
La superficie totale è
$S_t=4a^2+4ab+2ab=2a(2a+3b)$
ma noi sappiamo dalla formula del volume che
$b=27/(2a^2)$ (questi sono decimetri!!)
quindi
$S_t=4a^2+6a (27/(2a^2))=4a^2+81/a$
e questa superficie (attento che è una funzione di $a$) deve essere minima
QUindi calcoli drivata prima e la annulli
$S'_t=8a-81/a^2=0$
$8a^3-81=0$
ora faccio un passaggio terribile, scusami
$a^3=81/8$
$a=3/2 root(3) 3$
adesso ricaviamo $b$
dovrebbe essere
$b=6/root(3) 9=2root(3)3$ razionalizzando
ora con la calcolatrice guarda quanto vengono $a$ e $b$ e ricorda che sono decimetri, il problema ti chiede i mm
tutto chiaro?
Anzi già che ci sei fai una cosa in più, calcola adesso quanto è questa superficie totale minima e anche il volume!!
ciao!!!
Allora anzitutto il volume... 27 litri sono 27 $dm^3$
E il volume è dato dal prodotto dei 3 lati
$V=a 2a b= 2a^2b=27$
La superficie totale è
$S_t=4a^2+4ab+2ab=2a(2a+3b)$
ma noi sappiamo dalla formula del volume che
$b=27/(2a^2)$ (questi sono decimetri!!)
quindi
$S_t=4a^2+6a (27/(2a^2))=4a^2+81/a$
e questa superficie (attento che è una funzione di $a$) deve essere minima
QUindi calcoli drivata prima e la annulli
$S'_t=8a-81/a^2=0$
$8a^3-81=0$
ora faccio un passaggio terribile, scusami
$a^3=81/8$
$a=3/2 root(3) 3$
adesso ricaviamo $b$
dovrebbe essere
$b=6/root(3) 9=2root(3)3$ razionalizzando
ora con la calcolatrice guarda quanto vengono $a$ e $b$ e ricorda che sono decimetri, il problema ti chiede i mm
tutto chiaro?
Anzi già che ci sei fai una cosa in più, calcola adesso quanto è questa superficie totale minima e anche il volume!!
ciao!!!
"mazzarri":
ora faccio un passaggio terribile, scusami
$a^3=81/8$
$a=3/2 root(3) 3$
Auguro a Sangi che questo sia il passaggio più terribile che vedrà in vita sua... sarebbe fortunato!
"minomic":
Auguro a Sangi che questo sia il passaggio più terribile che vedrà in vita sua... sarebbe fortunato!
Che vuoi farci Minomic... mi vengono i brividi sulla schiena a scrivere una cosa simile... il modo migliore per perdersi per strada due soluzioni... ma vuoi star qui a parlare di numeri complessi?
ma la diciamo tutta? così serve anche a Chiaramc?
sarebbe in realtà
$8a^3-81=0$
che è un prodotto notevole (del tipo $a^3-b^3$) quindi viene
$(2a-3root(3)3)(4a^2+12aroot(3)3+9root(3)9)=0$
la prima parentesi ha la soluzione che si diceva prima... la seconda ha soluzioni complesse che non ci interessano
oooohhh... l'ho detto!
"mazzarri":
$8a^3-81=0$
che è un prodotto notevole (del tipo $a^3-b^3$) quindi viene
$(2a-3root(3)3)(4a^2+12aroot(3)3+9root(3)9)=0$
Piccolo appunto: la seconda parentesi dovrebbe essere \[
4a^2+9\sqrt[3]{9}+6a\sqrt[3]{3}
\]
si... per abitudine ho fatto il doppio prodotto 
Sì, ho immaginato.
Ciao.
Una domanda a mazzarri e/o minomic.
Se mi potreste confermare che, date le condizioni poste (dimensioni a e 2a), la terza dimensione è SEMPRE $4/3a$, indipendentemente dal volume che si vuole raggiungere.
Grazie.
Luciano
Una domanda a mazzarri e/o minomic.
Se mi potreste confermare che, date le condizioni poste (dimensioni a e 2a), la terza dimensione è SEMPRE $4/3a$, indipendentemente dal volume che si vuole raggiungere.
Grazie.
Luciano
"superpippone":
Ciao.
Una domanda a mazzarri e/o minomic.
Se mi potreste confermare che, date le condizioni poste (dimensioni a e 2a), la terza dimensione è SEMPRE $4/3a$, indipendentemente dal volume che si vuole raggiungere.
Grazie.
Luciano
ciao Luciano
le tre dimensioni sono $a$,$2a$ e $V/(2a^2)$ dove V è il volume.
Forse non capisco bene quello che chiedi... se non fissi il volume la terza dimensione la fai grande quanto vuoi!
Ciao.
Io volevo dire che per minimizzare la superficie del parallelepipedo, se due dimensioni misurano rispettivamente a e 2a, la terza sarà sempre $4/3a$.
Dopodichè è logico, che al variare del Volume, varia anche a. Ma il rapporto tra le 3 dimensioni rimane invariato.
Io volevo dire che per minimizzare la superficie del parallelepipedo, se due dimensioni misurano rispettivamente a e 2a, la terza sarà sempre $4/3a$.
Dopodichè è logico, che al variare del Volume, varia anche a. Ma il rapporto tra le 3 dimensioni rimane invariato.
ok adesso è chiaro
si le dimensioni sono nel nostro caso
$3/2 root(3) 3$
$3 root(3) 3$
$2 root(3) 3$
ma in un caso generico sarebbero state $a$,$2a$,$4/3 a$
si le dimensioni sono nel nostro caso
$3/2 root(3) 3$
$3 root(3) 3$
$2 root(3) 3$
ma in un caso generico sarebbero state $a$,$2a$,$4/3 a$
O.K.
Grazie.
Il mio obbiettivo sarebbe un po' più vasto.
Ma non conosco le derivate......
Grazie.
Il mio obbiettivo sarebbe un po' più vasto.
Ma non conosco le derivate......
Nel caso dovessero interessare, posto anche i passaggi. Se due lati sono $a$ e $2a$ allora, una volta fissato un volume $V$, il terzo è $V/(2a^2)$.
La superficie totale è a questo punto una funzione di $a$ e può essere scritta come \[
S_t\left(a\right) = a\cdot 2a + a\cdot\frac{V}{2a^2} + 2a\cdot\frac{V}{2a^2}
\] Svolgendo i calcoli \[
S_t\left(a\right) = 2a^2 + \frac{V}{2a} + \frac{V}{a}
\] A questo punto si calcola la derivata rispetto ad $a$ \[
\frac{dS_t\left(a\right)}{da} = 4a-\frac{V}{2a^2} - \frac{V}{a^2}
\] Annullando la derivata si ottiene \[
\frac{dS_t\left(a\right)}{da} = 0 \quad\Rightarrow\quad V = \frac{8}{3}a^3
\] Ricordando che il terzo lato era $V/(2a^2)$ si ottiene che la sua misura è data da \[
\frac{\frac{8}{3}a^3}{2a^2} = \frac{4}{3}a
\] Ciao!
La superficie totale è a questo punto una funzione di $a$ e può essere scritta come \[
S_t\left(a\right) = a\cdot 2a + a\cdot\frac{V}{2a^2} + 2a\cdot\frac{V}{2a^2}
\] Svolgendo i calcoli \[
S_t\left(a\right) = 2a^2 + \frac{V}{2a} + \frac{V}{a}
\] A questo punto si calcola la derivata rispetto ad $a$ \[
\frac{dS_t\left(a\right)}{da} = 4a-\frac{V}{2a^2} - \frac{V}{a^2}
\] Annullando la derivata si ottiene \[
\frac{dS_t\left(a\right)}{da} = 0 \quad\Rightarrow\quad V = \frac{8}{3}a^3
\] Ricordando che il terzo lato era $V/(2a^2)$ si ottiene che la sua misura è data da \[
\frac{\frac{8}{3}a^3}{2a^2} = \frac{4}{3}a
\] Ciao!
"superpippone":
O.K.
Grazie.
Il mio obbiettivo sarebbe un po' più vasto.
Ma non conosco le derivate......
Le puoi sempre imparare...
Voi due ve la state spassando con me!!!
Non ho più l'età (più probabilmente la voglia...) per imparare qualcosa.
E se anche volessi, non credo che i miei residui neuroni si attiverebbero.
Non ho più l'età (più probabilmente la voglia...) per imparare qualcosa.
E se anche volessi, non credo che i miei residui neuroni si attiverebbero.
"superpippone":
Voi due ve la state spassando con me!!!
Non ho più l'età (più probabilmente la voglia...) per imparare qualcosa.
E se anche volessi, non credo che i miei residui neuroni si attiverebbero.
Ma figurati... non si dice nemmeno per scherzo... la matematica è bella e divertente... qui non si sta parlando di fisica nucleare avanzata... questa è matematica da liceo la impari eccome basta mettersi un po' sotto nelle (poche) ore libere... dai che ce la puoi fare!!! Imparare cose nuove vuol dire vivere!!
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo