Minimi e massimi
non faccio in tempo ad andare in vacanza che subito mi dimentico come svolgere un problema apparentemente facile...qualcuno può darmi una dritta: "fra tutti i triangoli aventi costante un angolo alfa e l area S, qual è quello in cui è minima la somma dei quadrati dei lati che comprendono alfa??"
Risposte
$A=1/2*b*c*senalpha$, con $alpha " e " A " costanti "$, per cui $b*c="costante"$
$b^2+c^2$ è la funzione da minimizzare, però $(b+c)^2=b^2+c^2+2*b*c$, con $b*c="costante"$, dunque basta minimizzare $b+c$
il risultato lo dovresti sapere. spero che la "dritta" ti sia stata utile. ciao.
$b^2+c^2$ è la funzione da minimizzare, però $(b+c)^2=b^2+c^2+2*b*c$, con $b*c="costante"$, dunque basta minimizzare $b+c$
il risultato lo dovresti sapere. spero che la "dritta" ti sia stata utile. ciao.
"adaBTTLS":ti chiedo scusa ma il problema mio è proprio riuscire a trovare il valore di b e c...non riesco..che devi usare , carnot? trigonometria semplice? boh forse me l hai detto tu ma nn ho colto la "dritta" mi dispiace , che ignorante
$A=1/2*b*c*senalpha$, con $alpha " e " A " costanti "$, per cui $b*c="costante"$
$b^2+c^2$ è la funzione da minimizzare, però $(b+c)^2=b^2+c^2+2*b*c$, con $b*c="costante"$, dunque basta minimizzare $b+c$
il risultato lo dovresti sapere. spero che la "dritta" ti sia stata utile. ciao.
la risposta che dico dovresti conoscere è che sono tra loro uguali
(non so quali tecniche tu possa usare, però chiedo conferma: ti risulta che debbano essere uguali?).
poi, in base ai dati si trovano:
$b=c=sqrt((2A)/(senalpha))$
fammi sapere qualcosa di più. ciao.
(non so quali tecniche tu possa usare, però chiedo conferma: ti risulta che debbano essere uguali?).
poi, in base ai dati si trovano:
$b=c=sqrt((2A)/(senalpha))$
fammi sapere qualcosa di più. ciao.
beh la risposta che mi hai dato tu, cioè che il triangolo è in realtà isoscele, la so perchè è scritta sul libro...comunque io il capitolo sulla trigonometria l ho fatto, i lati b e c li devo trovare in funzione di x, probabilmente con la trigonometria come ho detto, solo che nn riesco, forse devo mettere un incognita in più e poi provare a sostituirla quando ho f(x)=0...boh
allora dovresti esprimere il tutto nell'incognita $beta$ ad esempio, sapendo che $beta+gamma=pi-alpha$. la strada più semplice mi sembra quella del teorema delle proiezioni, rispetto al terzo lato $a$. prova e fammi sapere. ciao.
adesso forse ho capito: è la cosa più semplice da fare, cioè dedurre che il triangolo deve essere isoscele attraverso lo studio di funzione.
tu hai $b=(2A)/(csenalpha)$ per cui la funzione da minimizzare è $b^2+c^2=(4A^2)/(c^2sen^2alpha)+c^2=(4A^2+c^4sen^2alpha)/(c^2sen^2alpha)$
derivando rispetto a $c$ si ottiene $(2csen^2alpha(c^2senalpha-2A)(c^2senalpha+2A))/(c^4sen^4alpha)$ che si annulla per $c^2=(2A)/(senalpha)$
riprendiamo $b$, $b^2=(4A^2)/(sen^2alpha)*(senalpha)/(2A)=(2A)/(senalpha)=c^2$
dunque per $b$, $c$ si ottengono gli stessi valori dell'altro post.
spero di essere stata chiara. spero anche che questo procedimento vada bene. ciao.
tu hai $b=(2A)/(csenalpha)$ per cui la funzione da minimizzare è $b^2+c^2=(4A^2)/(c^2sen^2alpha)+c^2=(4A^2+c^4sen^2alpha)/(c^2sen^2alpha)$
derivando rispetto a $c$ si ottiene $(2csen^2alpha(c^2senalpha-2A)(c^2senalpha+2A))/(c^4sen^4alpha)$ che si annulla per $c^2=(2A)/(senalpha)$
riprendiamo $b$, $b^2=(4A^2)/(sen^2alpha)*(senalpha)/(2A)=(2A)/(senalpha)=c^2$
dunque per $b$, $c$ si ottengono gli stessi valori dell'altro post.
spero di essere stata chiara. spero anche che questo procedimento vada bene. ciao.
beh, più dettagliato di così si muore...grazie mille per la "dritta"
prego!
io non so veramente che pesci prendere...vi prego voi sapreste risolverlo questo? vi giuro è l ultimo poi mi manghio una fetta di panettone e brucio nel camino il quaderno di mate, ma aiutatemi se no non ci dormo stanotte, e quando viene babbo natale lo scopro:scherzi a parte, ecco un problema sulla falsariga dell altro, ma di cui francamente non ho nemmeno capito il testo:"data una retta e due punti situati da bande opposte di essa, descrivere la circonferenza passante per A e B che intercetti sulla retta una corda di lunghezza minima...boh giuro che nn ho capito ciò che ho letto...aiutateme
Cerco di darti una idea di quello che succede. Data la retta $r$ i punti $a$ e $B$ stanno in semipiani opposti rispetto alla retta medesima. Per questi due punti passano infinite circonferenze, ognuna delle quali interseca la retta $r$ in due punti (che chiameremo $C,D$ per la prima circonferenza, $C',D'$ per la seconda, $C'',D''$ per la terza e così via) e il segmento che li unisce costituisce una corda. L'insieme di tutte le circonferenze conducibili per i punti $A,B$ costituisce un fascio di corconferenze. Devi trovare l'equazione di quella circonferenza del fascio tale per cui la lunghezza della corda è minima.
direi "illuminante"
adesso ho capito il problema, ma comunque nn so da che parte cominciare...l equazione del fascio non si può trovare perchè nn si parla di geometria analitica...io ho stabilito di condurre un segmento AB che intersechi la retta in O, e ho nominato AO= a , BO=b....così dice di fare il mio libro..però non ho nessun altra informazione
Guarda che per fare la geometria analitica ti basta introdurre opportunamente un sistema di assi cartesiani.
In vero non so come risolvere il problema né se la strada della geometria analitica sia la più semplice: al momento non ho idee.
In vero non so come risolvere il problema né se la strada della geometria analitica sia la più semplice: al momento non ho idee.
Regalo di Natale: la circonferenza che minimizza la corda in questione è quella il cui centro coincide col punto medio di $AB$.
Contraltare di Natale: provalo.
Suggerimento di Natale: usa la geometria sintetica.
Contraltare di Natale: provalo.
Suggerimento di Natale: usa la geometria sintetica.
Contrordine: ho trovato una falla nella mia dimostrazione 
"WiZaRd":ahah non ti preoccupare ormai lo lascio e lo riprenderò a gennaio sperando che l anno nuovo porti consiglio...buon natale!
Contrordine: ho trovato una falla nella mia dimostrazione
Credo di averlo risolto usando le omotetie.
Domani ricontrollo e se non trovo errori posto la soluzione.
Domani ricontrollo e se non trovo errori posto la soluzione.
La circonferenza che risolve il problema è quella il cui centro coincide con il punto medio del segmento $AB$.
Cominciamo col notare che il luogo dei centri delle circonferenze per $A$ e $B$ è l'asse del segmento medesimo (dacché questo luogo è costituito da punti equidistanti da $A$ e da $B$). E' dunque chiaro ed evindente che la circonferenza di raggio minimo è quella di diametro $AB$: ogni altra circonferenza ha il raggio della precedente come cateto di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il raggio della nuova circonferenza, sicché il raggio della nuova è maggiore di quello della precendete (in fig. è $O'A>OA$).
Notiamo ora che i segmenti $C'D'$ e $CD$ sono collineari e la retta $r$ interseca l'asse $s$ di $AB$; questo punto di intersezione è il centro della omotetia che trasforma una circonferenza nell'altra e i segmenti $C'D'$ si corrispondono in questa trasformazione.
L'omotetia conserva i rapporti, sicché se $O'A>OA$, allora $C'D'>CD$, che è la tesi.
Cominciamo col notare che il luogo dei centri delle circonferenze per $A$ e $B$ è l'asse del segmento medesimo (dacché questo luogo è costituito da punti equidistanti da $A$ e da $B$). E' dunque chiaro ed evindente che la circonferenza di raggio minimo è quella di diametro $AB$: ogni altra circonferenza ha il raggio della precedente come cateto di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il raggio della nuova circonferenza, sicché il raggio della nuova è maggiore di quello della precendete (in fig. è $O'A>OA$).
Notiamo ora che i segmenti $C'D'$ e $CD$ sono collineari e la retta $r$ interseca l'asse $s$ di $AB$; questo punto di intersezione è il centro della omotetia che trasforma una circonferenza nell'altra e i segmenti $C'D'$ si corrispondono in questa trasformazione.
L'omotetia conserva i rapporti, sicché se $O'A>OA$, allora $C'D'>CD$, che è la tesi.
Eccola qua: ho trovato l'errore anche nella dim di cui sopra. Non ho la certezza che il puntino rosso sia centro di omotetia.
Chiedo scusa per la confusione che sto creando.
Chiedo scusa per la confusione che sto creando.
Io farei così:
scelgo un sistema cartesiano in cui
la retta abbia equazione cartesiana $y=0$;
il punto $A$ abbia coordinate $(0;1)$ (senza perdita di generalità, in quanto
la soluzione è a meno di similitudini);
il punto $B$ abbia coordinate $(h;k)$ con $k < 0$.
Prendo il fascio di circonferenze passanti per i punti $A$ e $B$ e impongo che
il segmento intersezione con l'asse delle $x$ abbia lunghezza minima.
scelgo un sistema cartesiano in cui
la retta abbia equazione cartesiana $y=0$;
il punto $A$ abbia coordinate $(0;1)$ (senza perdita di generalità, in quanto
la soluzione è a meno di similitudini);
il punto $B$ abbia coordinate $(h;k)$ con $k < 0$.
Prendo il fascio di circonferenze passanti per i punti $A$ e $B$ e impongo che
il segmento intersezione con l'asse delle $x$ abbia lunghezza minima.
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