Minimi e massimi

[bacone1]

non faccio in tempo ad andare in vacanza che subito mi dimentico come svolgere un problema apparentemente facile...qualcuno può darmi una dritta: "fra tutti i triangoli aventi costante un angolo alfa e l area S, qual è quello in cui è minima la somma dei quadrati dei lati che comprendono alfa??"

[G.D.5]

Questa volta credo sul serio di averlo risolto




Sia $r$ la retta assegnata, siano $A$ e $B$ i punti siti in semipiani opposti rispetto alla retta $r$. Sia $O \in AB : AO=OB$ e sia $\gamma$ la circonferenza di diametro $AB$. Sia $\{C,D}:=\gamma \cap r$.
Il luogo dei centri delle circonferenze per $A$ e $B$ è l'asse $s$ del segmento $AB$. Sia $O' \in s : O'\neO$. Ovviamente è $O'A>OA$.
Sia $\Gamma$ la circonferenza di centro $O'$ e raggio $O'A$. Sia $\{C',D'\}:=\Gamma \cap r$.
Sia $E=AB\cap CD \equiv AB \cap C'D'$ e sia $M \in CD : CM=MD$.
E' chiaro ed evidente che $CE>ED'$: infatti $ED' Per il Teorema delle secanti in $\Gamma$ si ha: $C'E:AE=BE:ED'$. Per il medesimo Teorema in $\gamma$ si ha: $CE:AE=BE:ED$. Quindi $C'E*ED'=AE*BE=CE*ED$, da cui $(C'C+CE)*ED'=CE*(ED'+D'D)=>C'C*ED'+CE*ED'=CE*ED'+D'D*CE=>C'C*ED'=D'D*CE=>\frac{C'C}{D'D}=\frac{CE}{ED'}$. Essendo $CE>ED'$ si ha che $\frac{CE}{ED'}=\frac{C'C}{D'D}>1=>C'C>D'D$.
Questo basta per concludere la tesi: $C'D'=C'C+CD'>D'D+CD'=CD$. #



Secondo voi ci sono ancora errori?

[bacone1]

"WiZaRd":Eccola qua: ho trovato l'errore anche nella dim di cui sopra. Non ho la certezza che il puntino rosso sia centro di omotetia.
Chiedo scusa per la confusione che sto creando.

sicuramente non è maggiore di quella che ho già in testa

[G.D.5]

Credo che l'ultima dim che ho postato funzioni.

[bacone1]

"franced":Io farei così:

scelgo un sistema cartesiano in cui
la retta abbia equazione cartesiana $y=0$;
il punto $A$ abbia coordinate $(0;1)$ (senza perdita di generalità, in quanto
la soluzione è a meno di similitudini);
il punto $B$ abbia coordinate $(h;k)$ con $k < 0$.

Prendo il fascio di circonferenze passanti per i punti $A$ e $B$ e impongo che
il segmento intersezione con l'asse delle $x$ abbia lunghezza minima.

sono arrivato a ricavarmi il fascio di circonferenze passante per A e B...ma poi non capisco a che mi serva se devo trovare il segmento AB minimo...puoi spiegarmi?

[Sk_Anonymous]

(1) La circonferenza cercata non è quella che ha per diametro AB ma
quella che ,sempre passando per A e B,taglia r secondo la corda C'D'
il cui punto medio è proprio l'intersezione E di AB con r (vedi fig.1)
Per dimostrarlo basta verificare che è C'D' uguale a quello seguito da Wizard,si ha:
CE*ED=AE*EB=C'E*ED'
ovvero:(CC'+C'E)*ED=C'E*(ED+DD')
da cui: CC'*ED=C'E*DD'=ED'*DD'
E poiché risulta ED'>ED sarà pure :
DD' q.e.d.
Il centro O' della circonferenza in questione si può facilmente costruire come
intersezione dell'asse di AB con la perpendicolare ad r condotta dal punto E.

(2) Resta da dimostrare,comunque,che la corda C'D' è effettivamente la corda
minima intercettata.A tale scopo ( vedi fig.2) si costruisca la generica
circonferenza passante per A e B che intersechi r nei punti C e D.
Seguendo il consiglio del testo,poniamo AE=a,EB=b con a e b assegnati.
Risulta :
CE*ED=AE*EB=a*b= costante
D'altra parte la funzione z da minimizzare è:
z=CD=CE+ED e poichè CE*ED=costante,per un noto teorema ,il minimo
di z lo si ottiene quando CE=ED.
La dimostrazione di tale teorema è semplice.Basta osservare che risulta:
$z^2=(CE+ED)^2=(CE-ED)^2+4(CE*ED)$
E poiché CE*ED=costante ,si vede facilmente che il minimo di $z^2 $ [e
quindi di z ] si ottiene quando risulta nulla la parte variabile di $z^2$
e cioé $(CE-ED)^2=0$ e questo si ha per CE=ED.
Se si vuole ,a questo risultato si può giungere anche per via algebrica
ponendo,ad es.,$ CE=x ,ED=(AE*EB)/(CE)=(ab)/x$
In tal modo si ha $z=x+(ab)/x$ e tramite l'uso delle derivate,si arriva
al risultato che il minimo di z è per :
$CE=x=sqrt(ab),ED=(ab)/(sqrt(ab))=sqrt(ab)=CE$

P.S N°1
Bacone,nella sua risoluzione , si può limitare a riportare solo
il punto (2) di quanto scritto.
P.S.N°2
Ho controllato i risultati anche per via analitica ( con una particolare scelta
del riferimento cartesiano) e corrispondono.

[G.D.5]

@silvano38
Mi spieghi dove sbaglia la mia?

[G.D.5]

Credo che la mia soluzione minimizzi la corda per ogni circonferenza distinta dalla tua, se aggiungiamo anche la tua allora la mia soluzione è minimizzata dalla tua.
Sei d'accordo?