Mi aiutereste con questi problemi di geometria analitica?

[AgoAlt]

1) Dato il triangolo di vertici A(-2;-1) B (1;3) C(6;1), M è il punto medio di AB e N di BC verificare analiticamente che 11 N = 1/2 (un mezzo) di AC e che MN è parallelo ad AC

2)Verificare per quali valori K i tre punti sono allineati: A (1;2) B (- 1/2; 0) C (k-1;k+3)

3) Siano A (1;2) B (-2;-1) C (7;2) i vertici di un triangolo calcola area e perimetro, inoltre calcola la lunghezza delle 3 mediane e verifica che il perimetro del triangolo avente per vertici i punti medi dei lati del triangolo ABC è la metà del triangolo assegnato

Potete aiutarmi perfavore? domani ho il compito è vorrei capirci qualcosa, se potete mi servirebbe la spiegazione con i passaggi per capire come si fa, grazie anticipamente!

[Max 2433/BO]

Intanto provo a risolverti il primo:

Calcoliamo le coordinate di M e N:

Mx = (Ax + Bx)/2 = (-2 + 1)/2 = -1/2 = -0,5

My = (Ay + By)/2 = (-1 + 3)/2 = 1

M (-0,5 ; 1)

Nx = (Bx + Cx)/2 = (1 + 6)/2 = 7/2 = 3,5

Ny = (By + Cy)/2 = (3 + 1)/2 = 2

N (3,5 ; 2)

Per ora salto il pezzo 11N = (1/2) AC perchè non ho capito cosa intendi.

Vediamo se MN e parallelo ad AC

Calcolo l'equazione della retta passante per AC:

(y - Ay) : (Cy - Ay) = (x - Ax) : (Cx - Ax)

(y - (-1)) : (1 - (-1)) = (x - (-2)) : (6 - (-2))

(y +1):2 = (x + 2):8

moltiplico medi ed estremi

8y + 8 = 2x + 4

8y = 2x - 4

y = (1/4)x - 1/2

A questo punto verifico che l'equazione della retta passante per MN abbia lo stesso coeff. angolare, in questo mod saranno parallele:

(y - My) : (Ny - My) = (x - Mx) : (Nx - Mx)

(y - 1) : (2 - 1) = (x - (-0,5)) : (3,5 - (-0,5))

(y - 1):1 = (x + 0,5):4

moltiplico medi ed estremi

4y - 4 = x + 0,5

4y = x + 4,5

y = (1/4)x + 0,5 = (1/4)x + 1/2

Le due rette sono parallele perchè hanno lo stesso coeff. angolare peri a 1/4

Adesso vedo se sono in grado di fare anche gli altri...

:hi

Massimiliano

[AgoAlt]

Grazie mille, sei stato chiarissimo, aspetto gli altri :)

[Max 2433/BO]

2)
Per prima cosa calcolo l'equazione della retta passante per AB:

(y - Ay) : (By - Ay) = (x - Ax) : (Bx - Ax)

(y - 2) : (0 - 2) = (x - 1) : ((-1/2) - 1)

(y - 2) : -2 = (x - 1) : (-3/2)

moltiplico medi ed estremi

(-3/2)y + 3 = -2x + 2

per rendere y positivo moltiplico tutto per -1

(3/2)y = 2x + 3 - 2

y = (4/3)x + 2/3

A questo punto sostituiamo i valori x,y di C nella nostra equazione della retta perchè per essere allineato agli altri due, vuol dire che deve appartenere alla retta:

k + 3 = (4/3)*(k - 1) + 2/3

eliminiamo i denominatori moltiplicando tutto per 3

3k + 9 = 4*(k - 1) + 2

3k + 9 = 4k - 4 + 2

4k - 3k = 9 + 2

k = 11

quindi le coordinate di C saranno (10 ; 14).

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Purtroppo il terzo non ho tempo di fartelo tutto perchè a breve devo andare a lavorare, comunque inizio ad impostartelo, con le formule, come, secondo me andrebbe svolto.

Aggiunto 13 minuti più tardi:

Allora innanzi tutto devi calcolarti la lunghezza dei segmenti AB , BC e AC, per farla si applica il t. di pitagora alle coordinate dei punti estremi, così, ad esempio, il segmento AB misurerà:

AB = sqr ((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2) =

= sqr ((-2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = sqr ((-3)^2 +(-3)^2) = sqr 18

Lo stesso procedimento per gli altri due lati.

Una volta che hai le misure il perimetro è immediato, mentre per l'area puoi utilizzare la seguente formula:

A = sqr (p*(p-AB)*(p-BC)*(p-AC)) attento in questa formula con p si intende il semiperimetro

Le mediane, invece, si calcolano con la seguente formula:

chiamiamo AB = c , AC = b e BC = a

ma = (sqr(2*b^2 + 2*c^2 -a^2))/2

mb = (sqr(2*a^2 + 2*c^2 - b^2))/2

mb = (sqr(s*a^2 + 2*b^2 - c^2))/2

Per calcolare le coordinate del punto medio di ciascun lato dovrai utilizzare la formula usata nel primo problema:

mABx = (Ax + Bx)/2

mABy = (Ay + By)/2

ripeti per i tre lati e ottieni le coordinate delle tre mediane

A questo punto si tratta di ricominciare da capo e di calcolarsi la lunghezza dei segmenti mAB-mBC mBC-mAC e mAC-mAB come abbiamo fatto all'inizio di questo problema, ricalcolarsi il perimetro di qesto triangolo e verificare che è la metà di quello di partenza.

Scusami tantissimo di nuovo, ma è un po' lungo e non ho proprio il tempo di eseguirti tutti i calcoli, spero però di averti indicato tutte le formule e che tu possa farcela da solo.

:hi

Massimiliano