Metodo risolutivo: possibile errore?
Ciao a tutti, quest'oggi ho svolto svariati esercizi dove uno in particolare mi ha dato da pensare:
alla fine l'ho svolto, ed era praticamente quasi tutto corretto tranne per la parte finale dove, se comparata con quella del docente, ottengo un risultato diverso. Ho provato anche a chiedergli chi ha sbagliato e, chiaramente, ho sbagliato io anche se non ne sono cosi convinto, per questo vorrei chiedervi una conferma. Vi elenco di seguito l'esercizio (non metto tutti i passaggi perche tanto sono corretti e non interessanti per la tipologia di domanda che vorrei porvi).
La posizione di un mobile che si sposta lungo una retta $x$ sia descritta dalla funzione $x(t)$. Sapendo che la posizione $x(t)$ è l'integrale della velocità $v_x(t)$ e che a sua volta $v_x(t)$ è l'integrale dell'accelerazione $a_x(t)$, se${ ( a_0 -a_0/t_0, t<=t_0 ),( 0, t>t_0 ):}$, determinare la posizione $x(t)$
Dato che l'accelerazione è presente solo per $t<=t_0$
ho detto che:
$t in [0 ; t_0] -> V_x(t)=int a_x(t) dt = a_0t + 1/2 a_0/t_0t^2+C_1$
dove $C_1=V_0$
quindi:
$V_x(t)=a_0t + 1/2 a_0/t_0t^2+V_0$
adesso per trovare $x(t)$ farò:
$x(t)=int V_x(t)dt=1/6a_0/t_0*t^3+1/2a_0t^2+V_0t+C_2$
dove $C_2=x_0$
quindi se la posizione è rappresentata da una retta allora l'intervallo di $t$ che definisce la posizione sarà:
$t in [t_0 ; +oo[$ $->x(t)=1/6a_0/t_0*t^3+1/2a_0t^2+V_0t+x_0$
adesso inizia la divergenza fra la mia soluzione e quella del teacher.
il teacher ha sostituto al posto di $t$ in $x(t)$ con $(t-t_0)$ io con $(t+t_0)$
perchè se l'oggetto si muove per 10 secondi, e sappiamo che inizia dal punto $t_0$ dove per ipotesi ammettiamo che sia $t_0=2$ dato che la funzione $x(t)$ è in funzione di $t$ allora per forza di cose la posizione finale dovrà essere a $t_0+t$ e cioe $2+10=12$ cioe dal punto iniziale che è $2$ passano $10$ secondi e quindi in totale $12$
secondo il prof invece bisogna sottrarre... ma com'e' possibile?
grazie
alla fine l'ho svolto, ed era praticamente quasi tutto corretto tranne per la parte finale dove, se comparata con quella del docente, ottengo un risultato diverso. Ho provato anche a chiedergli chi ha sbagliato e, chiaramente, ho sbagliato io anche se non ne sono cosi convinto, per questo vorrei chiedervi una conferma. Vi elenco di seguito l'esercizio (non metto tutti i passaggi perche tanto sono corretti e non interessanti per la tipologia di domanda che vorrei porvi).
La posizione di un mobile che si sposta lungo una retta $x$ sia descritta dalla funzione $x(t)$. Sapendo che la posizione $x(t)$ è l'integrale della velocità $v_x(t)$ e che a sua volta $v_x(t)$ è l'integrale dell'accelerazione $a_x(t)$, se${ ( a_0 -a_0/t_0, t<=t_0 ),( 0, t>t_0 ):}$, determinare la posizione $x(t)$
Dato che l'accelerazione è presente solo per $t<=t_0$
ho detto che:
$t in [0 ; t_0] -> V_x(t)=int a_x(t) dt = a_0t + 1/2 a_0/t_0t^2+C_1$
dove $C_1=V_0$
quindi:
$V_x(t)=a_0t + 1/2 a_0/t_0t^2+V_0$
adesso per trovare $x(t)$ farò:
$x(t)=int V_x(t)dt=1/6a_0/t_0*t^3+1/2a_0t^2+V_0t+C_2$
dove $C_2=x_0$
quindi se la posizione è rappresentata da una retta allora l'intervallo di $t$ che definisce la posizione sarà:
$t in [t_0 ; +oo[$ $->x(t)=1/6a_0/t_0*t^3+1/2a_0t^2+V_0t+x_0$
adesso inizia la divergenza fra la mia soluzione e quella del teacher.
il teacher ha sostituto al posto di $t$ in $x(t)$ con $(t-t_0)$ io con $(t+t_0)$
perchè se l'oggetto si muove per 10 secondi, e sappiamo che inizia dal punto $t_0$ dove per ipotesi ammettiamo che sia $t_0=2$ dato che la funzione $x(t)$ è in funzione di $t$ allora per forza di cose la posizione finale dovrà essere a $t_0+t$ e cioe $2+10=12$ cioe dal punto iniziale che è $2$ passano $10$ secondi e quindi in totale $12$
secondo il prof invece bisogna sottrarre... ma com'e' possibile?
grazie
Risposte
Non sono sicura di aver capito tutto bene, comunque secondo me la soluzione , per $t>t_0$, è
$x(t)=1/6a_0/t_0*(t-t_0)^3+1/2a_0t_0^2+V_0t_0+x_0$ perché nel primo addendo stai calcolando solo la parte che eccede a $t_0$
$x(t)=1/6a_0/t_0*(t-t_0)^3+1/2a_0t_0^2+V_0t_0+x_0$ perché nel primo addendo stai calcolando solo la parte che eccede a $t_0$
"@melia":
Non sono sicura di aver capito tutto bene, comunque secondo me la soluzione , per $t>t_0$, è
$x(t)=1/6a_0/t_0*(t-t_0)^3+1/2a_0t_0^2+V_0t_0+x_0$ perché nel primo addendo stai calcolando solo la parte che eccede a $t_0$
ciao @melia....come va? ma sara gobbato è il tuo nome?
"@melia":
Non sono sicura di aver capito tutto bene, comunque secondo me la soluzione , per $t>t_0$, è
$x(t)=1/6a_0/t_0*(t-t_0)^3+1/2a_0t_0^2+V_0t_0+x_0$ perché nel primo addendo stai calcolando solo la parte che eccede a $t_0$
Ciao meli@ purtroppo ho avuto problemi con internet questi giorni e solo ora posso rispondere, quindi anche tu sottrai, mannaggia ma perche io non la vedo questa sottrazione? ti mostro i passaggi del prof con un'immagine:
poi ho preparato anche questo grafico che e' un po come la vedo io:
Dato che il problema dice che il mobile si muove su una linea retta è ovvio che il suo movimento comincia da $t_0$ giusto?
quindi anche la sua posizione puo essere solo valida da $t > t_0$ e qui non capisco...
se facciamo: $t-t_0$ all fin fine $t=6 - t_0=4$ (stando ai dati del grafico, $x(6-4) = x(2)$) cioe 2 è quello che entra come input nella funzione quindi la sua $y$ assocciata sarà per una $t=2$ anche se la $t$ iniziale era $6$ ma poi abbiamo sottratto di di $4$ quindi abbiamo $x(6-4) = x(2)$ ma a $t=2$ non va bene perche è piu piccola di $t_0=4$ capisci cosa intendo?
allora avrebbe piu senso scrivere direttamente $x(t)$ tale che $ t > t_0$ quindi se $t=6$ faccio direttamente $x(6)$ e non faccio nessuna somma e nessuna sottrazione perche per $t=6$ va bene dato che siamo gia sulla retta.
A questo punto penso che mio grafico è incorretto, oppure non capisco...
(l'accelerazione per comodità l'ho fatta costante, ma poteva anche non esserlo, fatto sta che da $t_0$ in poi e' nulla, quindi abbiamo velocità costante e un movimento (spazio) su una linea retta, quindi penso che il grafico sia giusto...)
mi potresti fare un esempio per favore? grazie mille
Considerando lo svolgimento del professore, è chiaro che la formula data inizialmente va modificata in
$a(t)={(a_0+(a_0)/(t_0)t " "("se " t<=t_0)),(0 " "("se " t>t_0)):}$
Poiché si dà una formula per $t<=t_0$, è evidente che il moto inizia prima dell'istante $t_0$; quest'ultimo è l'istante il cui il moto cambia, cioè l'inizio del secondo tipo di moto. Il primo tipo di moto inizia all'istante zero (e le costanti $c_1,c_2$ sono la velocità e la posizione all'istante zero).
Per quanto succede per $t<=t_0$, credo che giogiomogio non abbia problemi a seguire i calcoli del suo professore per $v(t)$ ed $x(t)$; all'istante $t_0$ essi assumono i valori
$v_0=v(t_0)=a_0t_0+(a_0)/(2t_0)t_0^2+c_1=3/2a_0t_0+c_1$
$x_0=x(t_0)=1/2a_0t_0^2+(a_0)/(6t_0)t_0^3+c_1t_0+c_2=2/3a_0t_0^2+c_1t_0+c_2$
Questi sono i valori iniziali per il moto uniforme; sostituendoli nella formula
$x(t)=x_0+v_0(t-t_0)=(x_0-v_0t_0)+v_0t$
e facendo il calcolo $x_0-v_0t_0$ si ottiene il risultato.
$a(t)={(a_0+(a_0)/(t_0)t " "("se " t<=t_0)),(0 " "("se " t>t_0)):}$
Poiché si dà una formula per $t<=t_0$, è evidente che il moto inizia prima dell'istante $t_0$; quest'ultimo è l'istante il cui il moto cambia, cioè l'inizio del secondo tipo di moto. Il primo tipo di moto inizia all'istante zero (e le costanti $c_1,c_2$ sono la velocità e la posizione all'istante zero).
Per quanto succede per $t<=t_0$, credo che giogiomogio non abbia problemi a seguire i calcoli del suo professore per $v(t)$ ed $x(t)$; all'istante $t_0$ essi assumono i valori
$v_0=v(t_0)=a_0t_0+(a_0)/(2t_0)t_0^2+c_1=3/2a_0t_0+c_1$
$x_0=x(t_0)=1/2a_0t_0^2+(a_0)/(6t_0)t_0^3+c_1t_0+c_2=2/3a_0t_0^2+c_1t_0+c_2$
Questi sono i valori iniziali per il moto uniforme; sostituendoli nella formula
$x(t)=x_0+v_0(t-t_0)=(x_0-v_0t_0)+v_0t$
e facendo il calcolo $x_0-v_0t_0$ si ottiene il risultato.
grazie giammaria
non ho ben capito una volta ottenuti $v_0$ e $x_0$ dove vanno sostituiti.
e in realta non no neanche ben capito perchè ci serve trovare $v_0$ e $x_0$.
non basta integrare $a_x(t)$ che mi da $v_x(t)$ e infine integrare $v_x(t)$ che mi da $x(t)$ ?
grazie
non ho ben capito una volta ottenuti $v_0$ e $x_0$ dove vanno sostituiti.
e in realta non no neanche ben capito perchè ci serve trovare $v_0$ e $x_0$.
non basta integrare $a_x(t)$ che mi da $v_x(t)$ e infine integrare $v_x(t)$ che mi da $x(t)$ ?
grazie
Problema preliminare
Pensiamo ad un solo moto che inizia all'istante zero e supponiamo che l'accelerazione sia data da $a(t)=2t+1$. Integrando trovi le formule
$v(t)=t^2+t+c_1$
$x(t)=1/3t^3+1/2t^2+c_1t+c_2$
che non ti dicono tutto perché contengono le due costanti di integrazione, che possono avere qualsiasi valore. Se però aggiungo che all'istante iniziale la velocità era 5 posso scrivere
$v(0)=5" "->0^2+0+c_1=5" "->c_1=5$
e dare la formula esatta per la velocità:
$v(t)=t^2+t+5$
Ragionando in modo analogo, se ti dico che la posizione iniziale era 7, imponi che sia $x(0)=7$ e ne ricavi $c_2=7$; perciò
$x(t)=1/3t^3+1/2t^2+5t+7$
e solo a questo punto hai delle formule precise.
Conclusione: quando in un problema conosciamo la formula per l'accelerazione e vogliamo quelle esatte per velocità e posizione, ci occorre anche qualche altro dato: di solito sono la velocità e la posizione iniziali.
Problema attuale
Ci sono due moti: per il primo possiamo pensare che inizi all'istante zero (cioè misuriamo il tempo dall'istante in cui inizia) e non conosciamo le condizioni iniziali (velocità e posizione), quindi dobbiamo rassegnarci ad avere formule finali contenenti le costanti di integrazione. Quando questo primo moto finisce, cioè all'istante $t_0$, il corpo ha una certa velocità e posizione, date da $v(t_0),x(t_0)$ e queste sono le condizioni iniziali per il secondo moto, che inizia all'istante $t_0$: per questo serve calcolarle.
In questo particolare problema, il secondo moto era uniforme e quindi non c'è bisogno di altre integrazioni e basta usare la formula del moto uniforme. Se invece il secondo moto avesse avuto un'accelerazione dipendente dal tempo, l'avrei integrata e poi avrei calcolato le costanti di integrazione imponendo che all'istante $t_0$ velocità e posizione fossero quelle precedentemente trovate.
Pensiamo ad un solo moto che inizia all'istante zero e supponiamo che l'accelerazione sia data da $a(t)=2t+1$. Integrando trovi le formule
$v(t)=t^2+t+c_1$
$x(t)=1/3t^3+1/2t^2+c_1t+c_2$
che non ti dicono tutto perché contengono le due costanti di integrazione, che possono avere qualsiasi valore. Se però aggiungo che all'istante iniziale la velocità era 5 posso scrivere
$v(0)=5" "->0^2+0+c_1=5" "->c_1=5$
e dare la formula esatta per la velocità:
$v(t)=t^2+t+5$
Ragionando in modo analogo, se ti dico che la posizione iniziale era 7, imponi che sia $x(0)=7$ e ne ricavi $c_2=7$; perciò
$x(t)=1/3t^3+1/2t^2+5t+7$
e solo a questo punto hai delle formule precise.
Conclusione: quando in un problema conosciamo la formula per l'accelerazione e vogliamo quelle esatte per velocità e posizione, ci occorre anche qualche altro dato: di solito sono la velocità e la posizione iniziali.
Problema attuale
Ci sono due moti: per il primo possiamo pensare che inizi all'istante zero (cioè misuriamo il tempo dall'istante in cui inizia) e non conosciamo le condizioni iniziali (velocità e posizione), quindi dobbiamo rassegnarci ad avere formule finali contenenti le costanti di integrazione. Quando questo primo moto finisce, cioè all'istante $t_0$, il corpo ha una certa velocità e posizione, date da $v(t_0),x(t_0)$ e queste sono le condizioni iniziali per il secondo moto, che inizia all'istante $t_0$: per questo serve calcolarle.
In questo particolare problema, il secondo moto era uniforme e quindi non c'è bisogno di altre integrazioni e basta usare la formula del moto uniforme. Se invece il secondo moto avesse avuto un'accelerazione dipendente dal tempo, l'avrei integrata e poi avrei calcolato le costanti di integrazione imponendo che all'istante $t_0$ velocità e posizione fossero quelle precedentemente trovate.
grazie mille giammaria ho capito perfettamente, si avvicina un po al concetto di equazioni differenziali quindi... nei classici problemi dove ti dicono: qual'e' quella famiglia di funzioni la cui loro derivata seconda moltiplicata per la loro derivata terza ti da 0 e sapendo che $y(0)=10$ almeno mi sembra di capire che siamo piu o meno da quelle parti.
ma quindi se ho capito potevo anche scrivere $x(t)$ anche cosi:
$x_0+v_0(t-t_0)=(2/3a_0t_0^2+c_1t_0+c_2)+(3/2a_0t_0+c_1)(t-t_0)$ ?
grazie
ma quindi se ho capito potevo anche scrivere $x(t)$ anche cosi:
$x_0+v_0(t-t_0)=(2/3a_0t_0^2+c_1t_0+c_2)+(3/2a_0t_0+c_1)(t-t_0)$ ?
grazie
Sì, certo; è solo un altro modo di scrivere il risultato. Io ho preferito una formula che non richiedesse sempre il calcolo di $t-t_0$; non l'ho scritta ma ho suggerito di calcolare inizialmente il valore di $x_0-v_0t_0$.
perfetto grazie mille, poi ad occhio se la risolvo cioe tolgo tutte le parentesi, vedo che $c_1t_0$ si annulla,
possibile che rimanga un $c_2$ e $c_1t$ ?
grazie
possibile che rimanga un $c_2$ e $c_1t$ ?
grazie
Non vedo perché no: dipendono dalle condizioni iniziali del primo moto, che non conoscevamo.
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