Medie - conferme e dubbi...

[fu^2]

qusito di maturità:

dati a e b, due numeri positivi assegnati, dire
1.qual'è la loro media aritmetica?
2.quella geometrica?
3.quale delle due è più grande? perchè?
4.come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?

allora
1.$x=(a+b)/2
2.$x=sqrt(ab)
4. la medie aritmetca si generalizza come $x=sum_(i=1)^nm_i/n$, mentre quella geometrica è $x=(m_1*m_2*...*m_n)^(1/n)$

il punto 3 ho fatto così: $sqrt(ab)>(a+b)/2$, ottenendo $4ab>a^2+b^2+2ab$, quindi la disequazione finale $a^2+b^2-2ab<0$ da cui si ottiene il quadrato $(a-b)^2<0$ e questa non è mai verificata, in quanto $a,b>0$ dal testo... quindi la media aritmetica è sempre maggiore della media geometrica per questo motivo.
è giusto?

ps. esiste un segno tipo $sum$ ma che vale per la moltiplicazione?
pps. ma in quali casi si ricorre a usare la media geometrica? cioè qual'è il suo utilizzo pratico, quando serve?

grazie a tutti!

[codino75]

"fu^2":

ps. esiste un segno tipo $sum$ ma che vale per la moltiplicazione?

esiste ed e' il pigrego, da usare in formato gigante come la sigma per la sommatoria.
io la chiamo produttoria

[TomSawyer1]

Si', vale la disuguaglianza $AM\ge GM$, con l'uguaglianza nel caso in cui $a=b$. Ah, e vale anche per i reali (non negativi, si intende).

Si ricorre a questi risultati per dimostrare moltissime disuguaglianze, dei piu' svariati tipi.