M.C.D. e m.c.m. tra numeri frazionari

[lh43294y3b]

Esiste una regola generale per trovare il M.C.D. e m.c.m. tra numeri frazionari?

Ad esempio: trovare il M.C.D. tra $1/2$ e $1/3$.

Allora:

[*:1ekobhqt]$1/2$ è divisibile per $1/2$, $1/4$, $1/6$, $1/8$, ... [/*:1ekobhqt]
[*:1ekobhqt]$1/3$ è divisibile per $1/3$, $1/6$, $1/9$, $1/12$, ...[/*:1ekobhqt]
[/list:u:1ekobhqt]

Il M.C.D. in questo caso è $1/6$.

Per il m.c.m., invece, si ha:


[*:1ekobhqt]$1/2$ ha come multipli $1/2$, $2/2$, $3/2$, $4/2$, ...[/*:1ekobhqt]
[*:1ekobhqt]$1/3$ ha come multipli $1/3$, $2/3$, $3/3$, $4/3$, ...[/*:1ekobhqt]
[/list:u:1ekobhqt]
Quindi il m.c.m. è $1$. Ma, ad esempio, $m.c.m.(1/2,1/4)=1/2$.

C'è un metodo più rapido per trovare m.c.m. e M.C.D. tra numeri frazionari?

[axpgn]

M.C.D. e m.c.m. in pratica hanno senso solo per gli interi ...

[orsoulx]

Beh! Alex, è proprio in 'pratica' che, ad esempio in goniometria, nasce la necessità di determinare il mcm di quantità non intere: qual è il periodo di una funzione goniometrica somma di due addendi, di periodo $ 2/3 pi $ e $ pi/2 $ rispettivamente?
Ciao

[axpgn]

Eh, mica vero ... ... fai finta di farlo con le frazioni ma in realtà cambi unità di misura ($1/6$) e poi fai il m.c.m. dei numeratori (interi) ...

@lh43294y3b
Quale sarebbe il multiplo di una frazione? Si dice che l'intero $m$ è multiplo di un numero intero $n$ se esiste un altro intero $k$ tale per cui si abbia $m=kn$ ... ora, usando questa definizione data per gli interi, dato un qualsiasi razionale $p/q$ ogni altro razionale $r/s$ è un multiplo di $p/q$ perché esiste sempre un razionale $k$ tale per cui $r/s=k*p/q$ cioè $k=(qr)/(ps)$ ... quindi ogni razionale è un multiplo comune di ogni coppia di razionali e quale sarebbe il minimo tra questi (infiniti) razionali multipli comuni?

[orsoulx]

"axpgn":fai finta di farlo con le frazioni

Questa è una tua opinione. Il mcm lo posso tranquillamente trovare cercando fra i multipli (interi) delle due frazioni il più piccolo in comune.
Ciao

[teorema55]

Uhm.............

Ho la sensazione che, con i vostri (leciti e interessanti) "aforismi", il povero lh43...ecc. ecc. sia più confuso di prima. La mia opinione (lo sottolineo per non innescare motivi di ulteriore dibattito, soprattutto oggi, dopo la finale di champs ) è che m.c.m. e M.C.D. abbiano senso se calcolati su numeri interi. Anche su frazioni, è vero, che tuttavia si riduce comunque al calcolo tra denominatori (interi) e penso che questo sia il cuore del post.

Dunque, per un po' di chiarezza, direi che, tra n numeri interi:

- il m.c.m. è il prodotto di tutti i loro divisori primi, COMUNI E NON COMUNI, presi una sola volta, con il massimo esponente con cui compaiono nella loro scomposizione

- il M.C.D., invece, è il prodotto di tutti i divisori primi COMUNI, presi una sola volta, con il minimo esponente con cui compaiono

Per esempio, tra i numeri 5, 15, 20, 125, con

$5=5$

$15=3\times5$

$20=2^2\times5$

$125=5^3$

il m.c.m. è

$2^2\times3\times5^3=1.500$

mentre il M.C.D. è

$5$

Le stesse operazioni, eseguite su frazioni, si riducono a calcolare (solo a titolo di esempio) il m.c.m. tra i denominatori, che sono INTERI, per trovare il loro denominatore comune, operazione usata per il confronto e/o la somma algebrica di esse.

Per esempio, calcoliamo M.C.D. e m.c.m. tra

$2/3$
e
$4/15$

Per prima cosa calcoliamo il m.c.m. tra i denominatori, operazione preliminare ad ogni confronto e/o somma algebrica tra frazioni:

Il m.c.m., come detto sopra, tra

$3$ e $15$ è $15$

(provare per credere)

A questo punto, anche i numeratori vanno modificati, in quanto

$2/3=6/15$
e
$4/15=4/15$

Ora puoi confrontare le frazioni confrontando i numeratori:

$6/15 > 4/15$,

puoi sommarle

$6/15 + 4/15=10/15=2/3$

Puoi calcolarne il M.C.D.:

$M.C.D. (4/15, 6/15)=2/15$

e il m.c.m.

$m.c.m. (4/15, 6/15)=12/15=4/5$

operando sui numeratori.

E con questo penso di avere esaurito l'argomento, anche con qualche ridondanza, che, ai discenti, non fa certo male.