M.C.D. & m.c.m. di frazioni algebriche
Buongiorno a tutti...Ho un piccolo problema che non riesco a risolvere...cioè : sto facendo le frazioni algebriche e devo determinare il campo di esistenza o realtà (CE), ma non riesco a capire come si determina.. 
Questo è un esercizio che non vi chiedo di risolvere ma per farvi capire a che esercizi sono arrivato : $(9x^2-6x+1)/(9x^2-1)$
RISULTATO : $x!=+-1/3$
qualcuno saprebbe spiegarmelo??
grazie mille
Questo è un esercizio che non vi chiedo di risolvere ma per farvi capire a che esercizi sono arrivato : $(9x^2-6x+1)/(9x^2-1)$
RISULTATO : $x!=+-1/3$
qualcuno saprebbe spiegarmelo??
grazie mille
Risposte
Spero di essere chiaro.
Allora il campo di esistenza di una funzione $f$ è l'insieme di quegli $x\in\RR$ tali che $f(x)$ esiste. in una razionale fratta il problema essenziale è che il denominatore può annullarsi. Ovviamente un numero non può essere diviso per zero, non ha alcun senso.
Quindi per determinare il campo di esistenza di una razionale fratta devi "togliere" dal CE tutti i valori che annullano il denominatore.
Nell'esercizio che hai citato si fa proprio quello.
Allora il campo di esistenza di una funzione $f$ è l'insieme di quegli $x\in\RR$ tali che $f(x)$ esiste. in una razionale fratta il problema essenziale è che il denominatore può annullarsi. Ovviamente un numero non può essere diviso per zero, non ha alcun senso.
Quindi per determinare il campo di esistenza di una razionale fratta devi "togliere" dal CE tutti i valori che annullano il denominatore.
Nell'esercizio che hai citato si fa proprio quello.
Grazie ma non riesco a capire...adesso ti spiego..per trovare che $+-1/3$ è ilo valore che non deve essere x ? perche seno dovrei provare con $+-1$$+-2$$+-3$eccetera..cioè come faccio a capire che è $+-1/3$ il valore che non deve prendere la x ?
vai a vedere quando il denominatore si annulla.
nel tuo caso quando si annulla $9x^2-1$?
Ovviamente quando $x$ è tale che $9x^2-1=0$ cioè quando $x^2=1/9$ ovvero si annulla se e solo se $x=+-1/3$
Quelli sono i valori per cui la funzione non esiste. Infatti sostituendoli, otterresti $f(1/3)=0/0$ e $f(-1/3)=4/0$ che non hanno senso.
nel tuo caso quando si annulla $9x^2-1$?
Ovviamente quando $x$ è tale che $9x^2-1=0$ cioè quando $x^2=1/9$ ovvero si annulla se e solo se $x=+-1/3$
Quelli sono i valori per cui la funzione non esiste. Infatti sostituendoli, otterresti $f(1/3)=0/0$ e $f(-1/3)=4/0$ che non hanno senso.
Scusa se ti tartasso di domande ma se io non ti avessi mostrato il risultato come avresti trovato $+-1/3$ ? che proprio non ci riesco a capire
Aroniuccio, si tratta semplicemente di risolvere l'equazione di secondo grado $9x^2-1=0$ 
Ciao.
Ciao.
Prendi il denominatore
$(9x^2-1)$
lo scomponi in fattori
$(3x-1)(3x+1)$
adesso usi la Legge di annullamento del prodotto che dice "un prodotto è 0 se e solo se uno dei fattori è 0"
Prendi il primo fattore e lo poni uguale a 0 $(3x-1)=0$, risolvendo viene $x=1/3$, fai lo stesso con il secondo fattore $(3x+1)=0$ che viene $x=-1/3$, quindi il denominatore si annulla per $x=+-1/3$, le condiioni di esistenza della frazione sono perciò $x!=+-1/3$
$(9x^2-1)$
lo scomponi in fattori
$(3x-1)(3x+1)$
adesso usi la Legge di annullamento del prodotto che dice "un prodotto è 0 se e solo se uno dei fattori è 0"
Prendi il primo fattore e lo poni uguale a 0 $(3x-1)=0$, risolvendo viene $x=1/3$, fai lo stesso con il secondo fattore $(3x+1)=0$ che viene $x=-1/3$, quindi il denominatore si annulla per $x=+-1/3$, le condiioni di esistenza della frazione sono perciò $x!=+-1/3$
Concordo con amelia
Vorrei aggiungere qualcos altro se il vostro professore lo richiede : come ben sai prima delle frazioni algebriche il vostro prof vi ha dovuto spiegare che $5/0=$impossibile e che $0/0=$ indeterminata
Quindi riferendomi alla tua frazione algebrica diremo anche che:
Se $x=1/3$ allora la frazione sarà indeterminata.
Se $x=-1/3$ allora la frazione sarà impossibile.
Difatti se sostituisci a $x$ il termine $-1/3$ ( sia numeratore che denominatore ) otterrai un numero fratto $0$ e che quindi la frazione sarà impossibile.
E al contrario se sostituisci alla $x$ il termine $1/3$ otterrai sia denominatore che numeratore $0$ e che quindi come detto prima la frazione sarà indeterminata.Ma per fare ciò devi fare come ti ha detto amelia la scomposizione sia del num. che del den.
Spero di esserti stato utile.
Ciao
Vorrei aggiungere qualcos altro se il vostro professore lo richiede : come ben sai prima delle frazioni algebriche il vostro prof vi ha dovuto spiegare che $5/0=$impossibile e che $0/0=$ indeterminata
Quindi riferendomi alla tua frazione algebrica diremo anche che:
Se $x=1/3$ allora la frazione sarà indeterminata.
Se $x=-1/3$ allora la frazione sarà impossibile.
Difatti se sostituisci a $x$ il termine $-1/3$ ( sia numeratore che denominatore ) otterrai un numero fratto $0$ e che quindi la frazione sarà impossibile.
E al contrario se sostituisci alla $x$ il termine $1/3$ otterrai sia denominatore che numeratore $0$ e che quindi come detto prima la frazione sarà indeterminata.Ma per fare ciò devi fare come ti ha detto amelia la scomposizione sia del num. che del den.
Spero di esserti stato utile.
Ciao
"Math_Team":
Concordo con amelia
Vorrei aggiungere qualcos altro se il vostro professore lo richiede : come ben sai prima delle frazioni algebriche il vostro prof vi ha dovuto spiegare che $5/0=$impossibile e che $0/0=$ indeterminata
Quindi riferendomi alla tua frazione algebrica diremo anche che:
Se $x=1/3$ allora la frazione sarà indeterminata.
Se $x=-1/3$ allora la frazione sarà impossibile.
Difatti se sostituisci a $x$ il termine $-1/3$ ( sia numeratore che denominatore ) otterrai un numero fratto $0$ e che quindi la frazione sarà impossibile.
E al contrario se sostituisci alla $x$ il termine $1/3$ otterrai sia denominatore che numeratore $0$ e che quindi come detto prima la frazione sarà indeterminata.Ma per fare ciò devi fare come ti ha detto amelia la scomposizione sia del num. che del den.
Spero di esserti stato utile.
Ciao
scusa, ma giusto per mettere la pulce nell'orecchio...:
cosa intendi per "impossibile e "indeterminata" ?
cioe', hai dato delle definizioni ?
e' una questione abbastanza importante che spesso depista i liceali (come me a suo tempo).
Sono cose che mi sono già state ripetute, e comunque volevo dare solo una mano ; il mio prof vuole che nei compiti scriviamo quello che ho detto prima. E poi intendevo come $5/0$ e $0/0$ "divisioni notevoli".
Ciao.
Ciao.
"Math_Team":
Sono cose che mi sono già state ripetute, e comunque volevo dare solo una mano ; il mio prof vuole che nei compiti scriviamo quello che ho detto prima. E poi intendevo come $5/0$ e $0/0$ "divisioni notevoli".
Ciao.
ok allora chiedo venia. ciao
Escluderei, in ogni caso, la soluzione $x = +1/3$ che fa tendere la funzione piuttosto a 0. Mi spiego (forse mi sbaglio...), il numeratore è il quadrato di $3x-1$, mentre il denominatore è il prodotto notevole $(3x+1)*(3x-1)$; scrivendo i termini per esteso si ha:
$y\ = (9x^2-6x+1)/(9x^2-1)\ =\ ((3x-1)*(3x-1))/((3x+1)*(3x-1))\ =\ (3x-1)/(3x+1)$, perciò, l'unico valore da escludere è $x\ =\ -1/3$, cioè la funzione Esiste in tutto il campo reale ad esclusione di quel punto.
$y\ = (9x^2-6x+1)/(9x^2-1)\ =\ ((3x-1)*(3x-1))/((3x+1)*(3x-1))\ =\ (3x-1)/(3x+1)$, perciò, l'unico valore da escludere è $x\ =\ -1/3$, cioè la funzione Esiste in tutto il campo reale ad esclusione di quel punto.
"IvanTerr":
Escluderei, in ogni caso, la soluzione $x = +1/3$ che fa tendere la funzione piuttosto a 0. Mi spiego (forse mi sbaglio...), il numeratore è il quadrato di $3x-1$, mentre il denominatore è il prodotto notevole $(3x+1)*(3x-1)$; scrivendo i termini per esteso si ha:
$y\ = (9x^2-6x+1)/(9x^2-1)\ =\ ((3x-1)*(3x-1))/((3x+1)*(3x-1))\ =\ (3x-1)/(3x+1)$, perciò, l'unico valore da escludere è $x\ =\ -1/3$, cioè la funzione Esiste in tutto il campo reale ad esclusione di quel punto.
La funzione non esiste neppure in $x=1/3$
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