Maturità 2013: la prova di Matematica
In questa discussione sarà possibile discutere e commentare le tracce della seconda prova dell'esame di stato. Fino alla conclusione del compito questo thread rimarrà bloccato.
Ricordo che, come gli anni scorsi, è severamente vietato utilizzare il forum per fornire/chiedere aiuto sul compito prima che la prova sia conclusa.
Ricordo che, come gli anni scorsi, è severamente vietato utilizzare il forum per fornire/chiedere aiuto sul compito prima che la prova sia conclusa.
Risposte
Allora mi sa che il commissario penserà che sono malato! 
Però a questo punto potevano scrivere "dare una spiegazione" non "dare una spiegazione esauriente"! Perchè altrimenti il problema dove sta? xD
Però a questo punto potevano scrivere "dare una spiegazione" non "dare una spiegazione esauriente"! Perchè altrimenti il problema dove sta? xD
"Esauriente" ha dimostrato d'essere un termine un po' inflazionato direi, visto che è stato usato più volte dove una spiegazione di quattro o cinque righe era più che sufficiente.
Il secondo problema mi è sembrato più che fattibile, non includeva neppure solidi di rotazione come da prassi. Unico integrale di tutta la prova una mera regione sottesa in un intervallo completamente $f(x)<=0$.
Molto carina la soluzione di floriano94 per il quesito n°8!
Per il quesito n°9 ho citato gli studi di Cantor, concludendo che $RR - QQ$ (così siamo stati abituati a scrivere
) dovesse appartenere allo stesso ordine d'infinito di $RR$. Non penso si potesse risolvere in modo più... originale, o più rigorosamente.
Prova eseguita in tutta calma (con esercizi eseguiti più volte o corretti) nel tempo di 4 ore e mezzo. Direi che ogni anno la prova di matematica divenga più facile. Ma se quella del tradizionale era ancora più banale, la sezione con cui condividiamo la commissione ne sapeva quanto un ragazzino delle medie? Tristezza infinita.
Il secondo problema mi è sembrato più che fattibile, non includeva neppure solidi di rotazione come da prassi. Unico integrale di tutta la prova una mera regione sottesa in un intervallo completamente $f(x)<=0$.
Molto carina la soluzione di floriano94 per il quesito n°8!
Per il quesito n°9 ho citato gli studi di Cantor, concludendo che $RR - QQ$ (così siamo stati abituati a scrivere
) dovesse appartenere allo stesso ordine d'infinito di $RR$. Non penso si potesse risolvere in modo più... originale, o più rigorosamente.Prova eseguita in tutta calma (con esercizi eseguiti più volte o corretti) nel tempo di 4 ore e mezzo. Direi che ogni anno la prova di matematica divenga più facile. Ma se quella del tradizionale era ancora più banale, la sezione con cui condividiamo la commissione ne sapeva quanto un ragazzino delle medie? Tristezza infinita.
"JPG":
$RR - QQ$ (così siamo stati abituati a scrivere
La notazione va bene. Ogni tanto si usa \(\displaystyle \setminus \) ma direi che la notazione dipende molto da autore e settore.
@ xXStephXx: Avresti potuto anche argomentare anche più euristicamente, come fanno i fisici.
Supponi di avere un elemento di volume \(V=x\cdot y\cdot z\) e che ogni sua dimensione vari di una quantità "piccola", rispettivamente \(\text{d} x\), \(\text{d} y\) e \(\text{d} z\); il volume variato \(V+\text{d} V\) è dato dal prodotto:
\[
\begin{split}
(x+\text{d} x)\cdot (y+\text{d} y)\cdot (z+\text{d} z) &\approx x\cdot y\cdot z + (x\cdot y\cdot \text{d} z+ x\cdot z\cdot \text{d} y + y\cdot z\cdot \text{d} x)\\
&= V+ (x\cdot y\cdot \text{d} z+ x\cdot z\cdot \text{d} y + y\cdot z\cdot \text{d} x) \; ,
\end{split}
\]
in cui il simbolo\(\approx\) significa che sono stati trascurati i "termini d'ordine superiore" (ossia quelli che contengono prodotti \(\text{d}x\cdot \text{d} y\), \(\text{d}x\cdot \text{d} z\), \(\text{d}y\cdot \text{d} z\) e \(\text{d}x\cdot \text{d} y\cdot \text{d} z\)), quindi:
\[
\text{d} V= x\cdot y\cdot \text{d} z+ x\cdot z\cdot \text{d} y + y\cdot z\cdot \text{d} x\; .
\]
Nell'ipotesi fatta dal testo, ogni dimensione si dilata linearmente con lo stesso fattore, i.e. risulta:
\[
\text{d}x=\alpha\ x,\ \text{d} y =\alpha\ y,\ \text{d} z=\alpha\ z
\]
con \(\alpha >0\) (in particolare \(\alpha =0,0038\)), quindi dalla formula precedente segue:
\[
\text{d} V= x\cdot y\cdot (\alpha\ z)+ x\cdot z\cdot (\alpha\ y) + y\cdot z\cdot (\alpha\ x) = 3\alpha\ V
\]
sicché anche la dilatazione volumica è lineare ed il fattore di dilatazione è triplo rispetto a quello della dilatazione delle singole dimensioni.
Lo stesso discorso si può fare per la dilatazione superficiale, trovando fattore di dilatazione doppio.
Supponi di avere un elemento di volume \(V=x\cdot y\cdot z\) e che ogni sua dimensione vari di una quantità "piccola", rispettivamente \(\text{d} x\), \(\text{d} y\) e \(\text{d} z\); il volume variato \(V+\text{d} V\) è dato dal prodotto:
\[
\begin{split}
(x+\text{d} x)\cdot (y+\text{d} y)\cdot (z+\text{d} z) &\approx x\cdot y\cdot z + (x\cdot y\cdot \text{d} z+ x\cdot z\cdot \text{d} y + y\cdot z\cdot \text{d} x)\\
&= V+ (x\cdot y\cdot \text{d} z+ x\cdot z\cdot \text{d} y + y\cdot z\cdot \text{d} x) \; ,
\end{split}
\]
in cui il simbolo\(\approx\) significa che sono stati trascurati i "termini d'ordine superiore" (ossia quelli che contengono prodotti \(\text{d}x\cdot \text{d} y\), \(\text{d}x\cdot \text{d} z\), \(\text{d}y\cdot \text{d} z\) e \(\text{d}x\cdot \text{d} y\cdot \text{d} z\)), quindi:
\[
\text{d} V= x\cdot y\cdot \text{d} z+ x\cdot z\cdot \text{d} y + y\cdot z\cdot \text{d} x\; .
\]
Nell'ipotesi fatta dal testo, ogni dimensione si dilata linearmente con lo stesso fattore, i.e. risulta:
\[
\text{d}x=\alpha\ x,\ \text{d} y =\alpha\ y,\ \text{d} z=\alpha\ z
\]
con \(\alpha >0\) (in particolare \(\alpha =0,0038\)), quindi dalla formula precedente segue:
\[
\text{d} V= x\cdot y\cdot (\alpha\ z)+ x\cdot z\cdot (\alpha\ y) + y\cdot z\cdot (\alpha\ x) = 3\alpha\ V
\]
sicché anche la dilatazione volumica è lineare ed il fattore di dilatazione è triplo rispetto a quello della dilatazione delle singole dimensioni.
Lo stesso discorso si può fare per la dilatazione superficiale, trovando fattore di dilatazione doppio.
Buongiorno, per favore, vorrei dei chiarimenti circa il terzo punto della prova di ordinamento, il quale chiedeva di trovare l'equazione della retta passante per $B (-6;-8)$ avente maggiore distanza da $A (2;-1)$
Io ho prima trovato l'equazione della retta chiamiamola $R$ passante per $A$ e $B$ che risulta essere $7/8x-11/4$ e per avere la distanza massima da $A$ ho trovato l'equazione della retta passante per $B$ e perpendicolare alla retta $R$ l'equazione è $ -8/7x-104/7 $.
Ero convinto che fosse l'unica soluzione, ma dopo aver letto la vostra temo di aver sbagliato tutto.
grazie in anticipo per le risposte
Io ho prima trovato l'equazione della retta chiamiamola $R$ passante per $A$ e $B$ che risulta essere $7/8x-11/4$ e per avere la distanza massima da $A$ ho trovato l'equazione della retta passante per $B$ e perpendicolare alla retta $R$ l'equazione è $ -8/7x-104/7 $.
Ero convinto che fosse l'unica soluzione, ma dopo aver letto la vostra temo di aver sbagliato tutto.
grazie in anticipo per le risposte
Secondo me il tuo procedimento va bene. Anche se avresti dovuto spiegare perché era il massimo.
Insomma:
La distanza tra un punto \(A\) e una retta \(r\) è uguale al raggio \(\delta\) del cerchio centrato in \(A\) e tangente alla retta data (a meno che A non appartenga alla retta).
Siccome \(B\) appartiene per ipotesi ad \(r\) allora \(B\) deve essere esterno al cerchio o uguale al punto di tangenza tra retta e cerchio. Se \(T\) è il punto di tangenza diverso da \(B\) allora, per il teorema di pitagora, la distanza tra \(A\) e \(T\) sarà minore della distanza tra \(A\) e \(B\). Si deduce quindi che ogni retta passante per \(B\) disti da \(A\) al più come la distanza tra \(A\) e \(B\). Perciò la tua retta è quella giusta.
Gli analisti complicano sempre tutto
.
Insomma:
La distanza tra un punto \(A\) e una retta \(r\) è uguale al raggio \(\delta\) del cerchio centrato in \(A\) e tangente alla retta data (a meno che A non appartenga alla retta).
Siccome \(B\) appartiene per ipotesi ad \(r\) allora \(B\) deve essere esterno al cerchio o uguale al punto di tangenza tra retta e cerchio. Se \(T\) è il punto di tangenza diverso da \(B\) allora, per il teorema di pitagora, la distanza tra \(A\) e \(T\) sarà minore della distanza tra \(A\) e \(B\). Si deduce quindi che ogni retta passante per \(B\) disti da \(A\) al più come la distanza tra \(A\) e \(B\). Perciò la tua retta è quella giusta.
Gli analisti complicano sempre tutto
.
"vict85":
Secondo me il tuo procedimento va bene. Anche se avresti dovuto spiegare perché era il massimo.
Hai ragione sarebbe stato meglio spiegarlo...
grazie
Al terzo punto della prova di ordinamento io avrei risposto così:
Presa una qualsiasi retta per $B$ e detta $AH$ la sua distanza da $A$, poiché i cateti sono minori dell'ipotenusa si ha $AH<=AB$ e l'uguaglianza si verifica solo quando $H$ coincide con $B$. Il valore massimo si ha quindi quando la retta è perpendicolare ad $AB$; poiché $m_(AB)=(-1+8)/(2+6)=7/8$, la retta cercata ha equazione
$y+8=-8/7(x+6)->y=-8/7x-104/7$
Presa una qualsiasi retta per $B$ e detta $AH$ la sua distanza da $A$, poiché i cateti sono minori dell'ipotenusa si ha $AH<=AB$ e l'uguaglianza si verifica solo quando $H$ coincide con $B$. Il valore massimo si ha quindi quando la retta è perpendicolare ad $AB$; poiché $m_(AB)=(-1+8)/(2+6)=7/8$, la retta cercata ha equazione
$y+8=-8/7(x+6)->y=-8/7x-104/7$
@ giammaria: A proposito del quesito pensavo che, se lo si assegnasse come problema di Analisi II (massimo vincolato), sarebbero in pochi a saperlo svolgere... 
Salve a tutti, come da topic ho fatto un errore clamoroso in seconda prova (liceo scientifico PNI), in particolare passate le 5 ore ed avendo fatto solo un problema ed un quesito decido di buttarmi sul quesito 9.
Vittima della stanchezza e dello stress affermo che il numerabile Q, Z ed R sono tra loro equipotenti ingnorando completamente Cantor.
Quesito sbagliato, figuraccia colossale ma se fosse solo questo non sarebbe niente
il vero problema, e qui l'errore diventa clamoroso, è che in tesina ho portanto la storia dei fondamenti di matematica e i teoremi di incompletezza di Godel
Quello che volevo chiedervi è come posso giustificare questo mio errore colossale? c'è qualche matematico del '900 che ha avanzato l'ipotesi che N,Q,Z ed R fossero tra loro equipotenti?
PS. alla fine nell'ultima ora sono riuscito a fare altri 4 quesiti bene (diciamo 3 e mezzo) ed il probolema è fatto tutto perfetto quindi nel complesso è andata bene
Vittima della stanchezza e dello stress affermo che il numerabile Q, Z ed R sono tra loro equipotenti ingnorando completamente Cantor.
Quesito sbagliato, figuraccia colossale ma se fosse solo questo non sarebbe niente
il vero problema, e qui l'errore diventa clamoroso, è che in tesina ho portanto la storia dei fondamenti di matematica e i teoremi di incompletezza di Godel
Quello che volevo chiedervi è come posso giustificare questo mio errore colossale? c'è qualche matematico del '900 che ha avanzato l'ipotesi che N,Q,Z ed R fossero tra loro equipotenti?
PS. alla fine nell'ultima ora sono riuscito a fare altri 4 quesiti bene (diciamo 3 e mezzo) ed il probolema è fatto tutto perfetto quindi nel complesso è andata bene
"gugo82":
@ giammaria: A proposito del quesito pensavo che, se lo si assegnasse come problema di Analisi II (massimo vincolato), sarebbero in pochi a saperlo svolgere...
Sarebbe una di quelle volte in cui la notazione rende una banalità assurda in qualcosa di non così immediato. Di fatto è un problema di algebra lineare. In ogni caso anche in questo caso dipende molto da come si modella il problema. Io non lo avrei spezzato in componente verticale e orizzontale neanche cercando di usare l'analisi.
Salve, avrei bisogno di delucidazioni in merito al quesito n7 dell'esame di maturità di quest' anno sul corso di ordinamento, in particolar modo da questo passaggio fino alla fine : $ b^2/2^(1/2)= 1 $ .. Grazie!
$ b^2/2^(1/2)= 1 ->b^2=2^(1/2)->b=(2^(1/2))^(1/2)=2^(1/4)=root(4)2$
$ab=1->a=1/b=1/(root(4)2)$.
$ab=1->a=1/b=1/(root(4)2)$.
Grazie 
"gugo82":
(...)
sicché anche la dilatazione volumica è lineare ed il fattore di dilatazione è triplo rispetto a quello della dilatazione delle singole dimensioni.
Lo stesso discorso si può fare per la dilatazione superficiale, trovando fattore di dilatazione doppio.
Trovo che quest'argomentazione sia contro il naturale spirito matematico di pignoleria. Se l'incremento $dx > 0$, elevare alla $n$-esima potenzia lascerà sempre $n-1$ "imperfezioni", la cui somma non è decisamente trascurabile.
Magari in fisica ci può pure stare visto che la dilatazione dei materiali non è enorme... Ma per il problema della valigia di fatto già con una dilatazione lineare del 10%, quell'approssimazione sottostima del 3%.... Mentre con una dilatazione lineare del 25% viene perso quasi il 20%!
buongiorno, ho un'altra questione, stavolta circa il primo quesito della prova di ordinamento. mi fanno notare che pur avendo dato la risposta giusta, potrebbe non essere ritenuta soddisfacente.
Il ragionamento è stato semplice, considerando il lato lungo 3 come la base del triangolo, l'altezza è 2 volte l'area diviso la base risultato 2, ovvero la lunghezza dell'altro lato; questo succede solo nei triangoli rettangoli, ho applicato pitagora risultato $sqrt13$ e sono passato al questo successivo felice di everne risolto uno in meno di un minuto.
Ora il mi babbo dice che la mia soluzione va bene in questo caso specifico ma non è generalizzabile, (come ad esempio la vostra risposta) e potrebbe non essere accettata o giudicata appena sufficiente.
Voi che ne pensate? Se avessero voluto una forma generica potevano scegliere un triangolo generico e non rettangolo.
Nel leggere il quesito (avevo appena finito di svolgere il problema) non ho potuto fare a meno di vedere il triangolo rettangolo e dovendone risolvere almeno altri 4 ho preso la strada diretta.
Il ragionamento è stato semplice, considerando il lato lungo 3 come la base del triangolo, l'altezza è 2 volte l'area diviso la base risultato 2, ovvero la lunghezza dell'altro lato; questo succede solo nei triangoli rettangoli, ho applicato pitagora risultato $sqrt13$ e sono passato al questo successivo felice di everne risolto uno in meno di un minuto.
Ora il mi babbo dice che la mia soluzione va bene in questo caso specifico ma non è generalizzabile, (come ad esempio la vostra risposta) e potrebbe non essere accettata o giudicata appena sufficiente.
Voi che ne pensate? Se avessero voluto una forma generica potevano scegliere un triangolo generico e non rettangolo.
Nel leggere il quesito (avevo appena finito di svolgere il problema) non ho potuto fare a meno di vedere il triangolo rettangolo e dovendone risolvere almeno altri 4 ho preso la strada diretta.
A me non è ben chiaro quello che è il tuo ragionamento. Hai considerato $b=3$ e hai che $h=(2A)/3$, poi?
"burm87":
A me non è ben chiaro quello che è il tuo ragionamento. Hai considerato $b=3$ e hai che $h=(2A)/3$, poi?
ciao,se $b=3$ allora $h=(2A)/3$ ovvero $h=(2x3)/3=2$ quindi l'altezza relativa a $b=3$ corrisponde con la lunghezza dell'altro lato che è $2$ e questo succede solo nei triangoli rettangoli
p.s. dal testo $A=3$
Allora non vedo perchè non dovrebbe andare bene. Calcoli che l'altezza è 2, non potendo essere che un triangolo non rettangolo abbia un lato uguale all'altezza non resta che il caso che il tuo triangolo sia proprio rettangolo. Pitagora e fine. Secondo me l'esercizio è corretto.
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