Maturità 2006
Nel piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le due parabole
p′ e p″ di equazioni rispettivamente:
$y=x^2$ $x=y^2-2y$.
a) Fornirne la rappresentazione grafica, dopo aver determinato, fra l’altro, i loro punti comuni.
b) Indicato con V′ il vertice della parabola p′, con V″ il vertice della parabola p ″ e con P il punto in cui p ″
interseca il semiasse positivo delle y, calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dall’arco
V′V″ della parabola p′, dall’arco V″P della parabola p ″ e dal segmento V′P.
c) Calcolare l’ampiezza dell’angolo secondo cui le due parabole si secano in O e con l’uso di una calcolatrice
esprimerla in gradi sessagesimali, primi e secondi.
d) Nel segmento parabolico, delimitato dalla retta di equazione y4 e dalla parabola p′, inscrivere il rettangolo
avente due lati paralleli all’asse y e area massima.
e) Stabilire se il rettangolo trovato ha anche il massimo perimetro.
Allora..ho un problema con il punto b.
Ho trovato nel grafico l'aria della regione finita di piano.. ora, avevo pensato di dividerla in 2. Siccome $x=y^2-2y$ ha come punto di massimo della funzione, $A(-1;1)$ considero la regione di piano compresa tra la prima parabola e questa retta.. e calcolo $\int_-1^0(1-x^2)dx$ e trovo,se non ho sbagliato i conti,$4/3$. Poi,per calcolare quello che manca,avevo pensato di fare l'integrale tra uno e due, della funzione calcolata in y questa volta. Ovvero:
$\int_1^2(y^2-2y-1)dy$ ed ho trovato l'area=5/3.Ora,sommandoli,viene fuori che l'area totale sarebbe:$9/3$. Il risultato dovrebbe essere $4/3$. Volevo capire se ho sbagliato i conti,ma il procedimento è giusto,o se invece nella seconda parabola devo per forza esplicitare la x eppoi calcolarmi l'integrale tra $(0;-1)$. Grazie
p′ e p″ di equazioni rispettivamente:
$y=x^2$ $x=y^2-2y$.
a) Fornirne la rappresentazione grafica, dopo aver determinato, fra l’altro, i loro punti comuni.
b) Indicato con V′ il vertice della parabola p′, con V″ il vertice della parabola p ″ e con P il punto in cui p ″
interseca il semiasse positivo delle y, calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dall’arco
V′V″ della parabola p′, dall’arco V″P della parabola p ″ e dal segmento V′P.
c) Calcolare l’ampiezza dell’angolo secondo cui le due parabole si secano in O e con l’uso di una calcolatrice
esprimerla in gradi sessagesimali, primi e secondi.
d) Nel segmento parabolico, delimitato dalla retta di equazione y4 e dalla parabola p′, inscrivere il rettangolo
avente due lati paralleli all’asse y e area massima.
e) Stabilire se il rettangolo trovato ha anche il massimo perimetro.
Allora..ho un problema con il punto b.
Ho trovato nel grafico l'aria della regione finita di piano.. ora, avevo pensato di dividerla in 2. Siccome $x=y^2-2y$ ha come punto di massimo della funzione, $A(-1;1)$ considero la regione di piano compresa tra la prima parabola e questa retta.. e calcolo $\int_-1^0(1-x^2)dx$ e trovo,se non ho sbagliato i conti,$4/3$. Poi,per calcolare quello che manca,avevo pensato di fare l'integrale tra uno e due, della funzione calcolata in y questa volta. Ovvero:
$\int_1^2(y^2-2y-1)dy$ ed ho trovato l'area=5/3.Ora,sommandoli,viene fuori che l'area totale sarebbe:$9/3$. Il risultato dovrebbe essere $4/3$. Volevo capire se ho sbagliato i conti,ma il procedimento è giusto,o se invece nella seconda parabola devo per forza esplicitare la x eppoi calcolarmi l'integrale tra $(0;-1)$. Grazie
Risposte
Il procedimento "standard è questo": Se hai fatto bene la figura, vedi che l'area in questione è semplicemente l'area sotto la seconda parabola fra -1 e 0 meno l'area sotto la prima parabola fra -1 e 0. Ora, la seconda parabola non è una funzione reale di variabili reali, devi restringerla in modo da ottenere una tal funzione. Esplicitando la y ottieni $y=1+-sqrt(1+x)$, e la soluzione con il segno meno è da scartare perchè corrisponde alla parte di parabola al di sotto del vertice, mentre a te interessa quella di sopra. Ora è facile: $A=\int_-1^2(1+sqrt(1+x))dx +\int_-1^2(x^2)dx$=$1+2/3-1/3=4/3$. Non ho ben capito cosa intendi con il fatto che la "funzione" $x=y^2-2y$ ha un massimo in $(-1,1). $
Comunque sostanzialmente l'idea è giusta,anche se: il primo integrale è sbagliato, il risultato fa $2/3$, mentre nel secondo infili un $-1$ nella tua integranda, mentre è solo $y^2-2y$. Inoltre, poichè stai lavorando con le y, devi invertire gli estremi di integrazione, oppure ricordare che devi cambiare il segno al risultato. Svolto correttamente, questo integrale da $2/3$, quindi in totale l'area è proprio $2/3+2/3=4/3$.
Ciao
Comunque sostanzialmente l'idea è giusta,anche se: il primo integrale è sbagliato, il risultato fa $2/3$, mentre nel secondo infili un $-1$ nella tua integranda, mentre è solo $y^2-2y$. Inoltre, poichè stai lavorando con le y, devi invertire gli estremi di integrazione, oppure ricordare che devi cambiare il segno al risultato. Svolto correttamente, questo integrale da $2/3$, quindi in totale l'area è proprio $2/3+2/3=4/3$.
Ciao
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