Matrice per l'area di un triangolo
Sul libro di matematica ho trovato per caso questa formula: date le coordinate dei tre punti di un generico triangolo l'area risulta: +-1/2I(x3-x1) (y3-y1) I
I (x2-x1) (y2-y1) I
I I
I I
Le I maiuscole stanno ad indicare una matrice. Io ho provato a dimostrare questa cosa ma per il momento non ci sono riuscito. mi potreste aiutare a dimostrare che l'area di un triangolo può essere ottenuta in questo modo?
I (x2-x1) (y2-y1) I
I I
I I
Le I maiuscole stanno ad indicare una matrice. Io ho provato a dimostrare questa cosa ma per il momento non ci sono riuscito. mi potreste aiutare a dimostrare che l'area di un triangolo può essere ottenuta in questo modo?
Risposte
"franced":
Non sono d'accordo.
Dobbiamo insegnare ad affrontare i problemi in più modi, non basta che "il conto torni"
e il fatto che un libro faccia così non significa molto, almeno per me.
Tu ti accontenti di risolvere un problema in un solo modo?
Io, spesso, non mi accontento di 2 soluzioni diverse...
Ma cosa c'entra scusa? Io non ho detto che mi accontento di un solo modo, bensì che sono ben contento di leggere diverse soluzioni, purchè giuste...ho voluto insistere sul fatto che una traslazione qui puo essere comoda ma non indispensabile in termine di conti. io potrei dirti che la tua bella dimostrazione con le affinità - che tra le tutte è a mio avviso la migliore - non è proponibile in una terza superiore quando di solito si studia la formula dell'area, perchè non si sa neppure cosa sia un'affinità, però mi è piaciuta e me la sono segnata.
Terminiamo qui dai perche stiamo andando off topic
"rofellone":
Precisamente la formula è:
⎡ x·3 - x·1 y·3 - y·1 ⎤
⎣ x·2 - x·1 y·2 - y·1 ⎦
Se dal prodotto della matrice esce un numero negativo si moltiplica per -1/2, mentre se positivo si moltiplica per +1/2.
Non capisco, non puoi scriverla con la sintassi corretta per favore? cosa sono quei quadratini con dentro i numeri?
ritornando al testo iniziale, penso di interpretare così:
$+-1/2*|(x_3-x_1, y_3-y_1), (x_2-x_1, y_2-y_1)|$
ciao.
$+-1/2*|(x_3-x_1, y_3-y_1), (x_2-x_1, y_2-y_1)|$
ciao.
è giusto come dice adaBTTLS: è quella la formula che voglio scrivere ma non ho ancora trovato una dimostrazione chiara per questa formula. Come ci si arriva? Come entra in ballo la matrice?
senti, la formula generale è quella che ti hanno scritto sia oronte sia franced.
come apici è indifferente usare 1,2,3 o A,B,C.
adesso non ho tempo, ma provaci tu: dovresti passare da un determinante di ordine 3 ad uno di ordine 2.
forse se sei alle superiori non conosci il metodo migliore, ma puoi svolgerli entrambi...
tieni conto che il determinante della tua matrice è semplicemente la differenza tra i due prodotti dei termini della diagonale principale e dell'altra diagonale, cioè $(x_3-x_1)*(y_2-y_1)-(y_3-y_1)*(x_2-x_1)$. pensa ai grafici che ti hanno fatto in prima pagina. ciao.
come apici è indifferente usare 1,2,3 o A,B,C.
adesso non ho tempo, ma provaci tu: dovresti passare da un determinante di ordine 3 ad uno di ordine 2.
forse se sei alle superiori non conosci il metodo migliore, ma puoi svolgerli entrambi...
tieni conto che il determinante della tua matrice è semplicemente la differenza tra i due prodotti dei termini della diagonale principale e dell'altra diagonale, cioè $(x_3-x_1)*(y_2-y_1)-(y_3-y_1)*(x_2-x_1)$. pensa ai grafici che ti hanno fatto in prima pagina. ciao.
Io sono al terzo superiore quindi non sono ancora in grado di padroneggiare le matrici (le utilizzo per Cramer).
La dimostrazione di franced mi interessa ma dice:Ti faccio la dimostrazione, ok?
L'area $S_P$ del parallelogrammo $P$ di vertici $V_k$ ($k=1,2,3,4$) è uguale a
$S_P = | det ((x_B-x_A,x_C-x_A),(y_B-y_A,y_C-y_A)) |$
Per ottenere l'area del triangolo $ABC$ basta dividere per 2.
Per finire, è sufficiente far vedere che
$|det ((x_B-x_A,x_C-x_A),(y_B-y_A,y_C-y_A))| = |det((1,1,1),(x_A,x_B,x_C),(y_A,y_B,y_C))|$
Purtroppo sono nuovo del forum e non riesco a capire questi simboli.la richiesta è sempre quella; mi aiutate a sviluppare la dimostrazione magari utilizzando simboli più chiari?
La dimostrazione con l'affinità non la posso capire perchè non ho ancora studiato l'affinità.
Ringrazio tutti quelli disposti ad aiutarmi.
La dimostrazione di franced mi interessa ma dice:Ti faccio la dimostrazione, ok?
L'area $S_P$ del parallelogrammo $P$ di vertici $V_k$ ($k=1,2,3,4$) è uguale a
$S_P = | det ((x_B-x_A,x_C-x_A),(y_B-y_A,y_C-y_A)) |$
Per ottenere l'area del triangolo $ABC$ basta dividere per 2.
Per finire, è sufficiente far vedere che
$|det ((x_B-x_A,x_C-x_A),(y_B-y_A,y_C-y_A))| = |det((1,1,1),(x_A,x_B,x_C),(y_A,y_B,y_C))|$
Purtroppo sono nuovo del forum e non riesco a capire questi simboli.la richiesta è sempre quella; mi aiutate a sviluppare la dimostrazione magari utilizzando simboli più chiari?
La dimostrazione con l'affinità non la posso capire perchè non ho ancora studiato l'affinità.
Ringrazio tutti quelli disposti ad aiutarmi.
I simboòi sono ora chiari ma quando li ho letti da franced non avevano la forma che hanno preso adesso.
Nonostanter ciò non riesco a capire franced che dice che l'area del parallelogramma è:
SP=|det(xB-xAxC-xAyB-yAyC-yA)| come è arrivato a questa formula? In un parallelogramma di vertici ABCD xb-xa cosa rappresenta?
Oronto mi puoi aiutare?
Nonostanter ciò non riesco a capire franced che dice che l'area del parallelogramma è:
SP=|det(xB-xAxC-xAyB-yAyC-yA)| come è arrivato a questa formula? In un parallelogramma di vertici ABCD xb-xa cosa rappresenta?
Oronto mi puoi aiutare?
prova a vederlo graficamente. ritorna all'espressione iniziale del testo con $A(x_1, y_1)," "B(x_2, y_2)," "C(x_3, y_3)$.
prendi le coordinate di tre punti (solo per fare un disegno e verificare il valore numerico del risultato, mentre tutti gli altri ragionamenti li fai considerando coordinate generiche): ad esempio A(0,1), B(3,0), C(2,2). traccia tutte le 6 rette (in questo caso 4 a parte gli assi cartesiani) orizzontali e verticali che passano per i tre vertici. si forma un rettangolo grande costituito da 4 rettangoli più piccoli. nella tua figura diciamo che:
H è l'area del rettangolo di vertici (0,1), (2,1), (2,2), (0,2)
K è l'area del rettangolo di vertici (2,1), (3,1), (3,2), (2,3)
L è l'area del rettangolo di vertici (0,0), (2,0), (2,1), (0,1)
M è l'area del rettangolo di vertici (2,0), (3,0), (3,1), (2,1)
l'area del triangolo ABC è data dall'area del rettangolo grande meno la somma delle aree dei tre triangoli rettangoli "esterni" che si vengono a formare
[N.B.: li vedi? sono dentro il rettagolo "grande" e al di fuori del triangolo ABC]:
per come viene la figura scriviamo:
area(ABC) = $(H+K+L+M)-1/2*H-1/2*(K+M)-1/2*(L+M) = 1/2*(H+K+L)$ ,
[o anche area(ABC) = $1/2*[(H+K+L+M)-M]$] ... ma ... [... non servono tutte le espressioni successive ...]
$H=(x_3-x_1)*(y_3-y_1)$, $K=(x_2-x_3)*(y_3-y_1)$, $L=(x_3-x_1)*(y_1-y_2)$, $H+K=(x_2-x_1)*(y_3-y_1)$
$M=(x_2-x_3)*(y_1-y_2)$, $H+K+L+M=(x_2-x_1)*(y_3-y_2)$
nel tuo determinante ritrovi $(-L)-(H+K)$ che è uguale alla doppia area cambiata di segno... per cui area = -1/2*det("matrice")
spero di essere stata utile e chiara. ciao.
prendi le coordinate di tre punti (solo per fare un disegno e verificare il valore numerico del risultato, mentre tutti gli altri ragionamenti li fai considerando coordinate generiche): ad esempio A(0,1), B(3,0), C(2,2). traccia tutte le 6 rette (in questo caso 4 a parte gli assi cartesiani) orizzontali e verticali che passano per i tre vertici. si forma un rettangolo grande costituito da 4 rettangoli più piccoli. nella tua figura diciamo che:
H è l'area del rettangolo di vertici (0,1), (2,1), (2,2), (0,2)
K è l'area del rettangolo di vertici (2,1), (3,1), (3,2), (2,3)
L è l'area del rettangolo di vertici (0,0), (2,0), (2,1), (0,1)
M è l'area del rettangolo di vertici (2,0), (3,0), (3,1), (2,1)
l'area del triangolo ABC è data dall'area del rettangolo grande meno la somma delle aree dei tre triangoli rettangoli "esterni" che si vengono a formare
[N.B.: li vedi? sono dentro il rettagolo "grande" e al di fuori del triangolo ABC]:
per come viene la figura scriviamo:
area(ABC) = $(H+K+L+M)-1/2*H-1/2*(K+M)-1/2*(L+M) = 1/2*(H+K+L)$ ,
[o anche area(ABC) = $1/2*[(H+K+L+M)-M]$] ... ma ... [... non servono tutte le espressioni successive ...]
$H=(x_3-x_1)*(y_3-y_1)$, $K=(x_2-x_3)*(y_3-y_1)$, $L=(x_3-x_1)*(y_1-y_2)$, $H+K=(x_2-x_1)*(y_3-y_1)$
$M=(x_2-x_3)*(y_1-y_2)$, $H+K+L+M=(x_2-x_1)*(y_3-y_2)$
nel tuo determinante ritrovi $(-L)-(H+K)$ che è uguale alla doppia area cambiata di segno... per cui area = -1/2*det("matrice")
spero di essere stata utile e chiara. ciao.
Concordo pienamente con Franced. Usare la traslazione è stato a mio avviso geniale e mi è sembrato il metodo più semplice. Grazie anche a tutti gli altri che hanno voluto aiutarmi
"rofellone":
Concordo pienamente con Franced. Usare la traslazione è stato a mio avviso geniale e mi è sembrato il metodo più semplice. Grazie anche a tutti gli altri che hanno voluto aiutarmi
Geniale?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo