Matrice per l'area di un triangolo
Sul libro di matematica ho trovato per caso questa formula: date le coordinate dei tre punti di un generico triangolo l'area risulta: +-1/2I(x3-x1) (y3-y1) I
I (x2-x1) (y2-y1) I
I I
I I
Le I maiuscole stanno ad indicare una matrice. Io ho provato a dimostrare questa cosa ma per il momento non ci sono riuscito. mi potreste aiutare a dimostrare che l'area di un triangolo può essere ottenuta in questo modo?
I (x2-x1) (y2-y1) I
I I
I I
Le I maiuscole stanno ad indicare una matrice. Io ho provato a dimostrare questa cosa ma per il momento non ci sono riuscito. mi potreste aiutare a dimostrare che l'area di un triangolo può essere ottenuta in questo modo?
Risposte
Posso dire che non si capisce quello che vuoi provare?
1) La matrice "I" qual è?
2) Riscrivi la formula con il linguaggio di MathML.
1) La matrice "I" qual è?
2) Riscrivi la formula con il linguaggio di MathML.
La formula è questa:
$Area=1/2det((x_A, y_A, 1),(x_B, y_B, 1),(x_C, y_C, 1))$
La dimostrazione è abbastanza laboriosa...
$Area=1/2det((x_A, y_A, 1),(x_B, y_B, 1),(x_C, y_C, 1))$
La dimostrazione è abbastanza laboriosa...
Proviamoci!
La figura è questa, spero si capisca ma non so fare di meglio:
Decompongo il triangolo ABC in due triangoli BCM e CAM, tali che $A_(ABC)=A_(BCM)+A_(ACM)$.
Le coordinate di un punto P di un segmento AB sono date dalla formula $x_P=alphax_A+betax_B $ e $y=alphay_A+betay_B$, con $alpha+beta=1$; quindi $x_M=alphax_A+(1-alpha)x_B$, $y_M=alphay_A+(1-alpha)y_B$.
Poiche $y_M=y_C$, $alphay_A+(1-alpha)y_B=y_C$ e quindi $alpha=(y_C-y_B)/(y_a-y_B)$.
$x_M=(y_C-y_B)/(y_A-y_B)x_A+(1-(y_C-y_B)/(y_A-y_B))x_B$
Otteniamo così l'area:
$A_(ABC)=A_(BCM)+A_(ACM)=(CM*AK)/2+(CM*BK)/2=(CM)/2(AK+BK)=(CM)/2|y_B-y_A|=1/2|(((y_C-y_B)x_A+(y_A-y_C)x_B)/(y_A-y_B)-x_C)*(y_B-y_A)|=1/2|(y_C-y_B)x_A+(y_A-y_C)x_B+(y_B-y_A)x_C|=1/2det((x_A,y_A,1),(x_B,y_B,1),(x_C,y_C,1))$
La figura è questa, spero si capisca ma non so fare di meglio:
Decompongo il triangolo ABC in due triangoli BCM e CAM, tali che $A_(ABC)=A_(BCM)+A_(ACM)$.
Le coordinate di un punto P di un segmento AB sono date dalla formula $x_P=alphax_A+betax_B $ e $y=alphay_A+betay_B$, con $alpha+beta=1$; quindi $x_M=alphax_A+(1-alpha)x_B$, $y_M=alphay_A+(1-alpha)y_B$.
Poiche $y_M=y_C$, $alphay_A+(1-alpha)y_B=y_C$ e quindi $alpha=(y_C-y_B)/(y_a-y_B)$.
$x_M=(y_C-y_B)/(y_A-y_B)x_A+(1-(y_C-y_B)/(y_A-y_B))x_B$
Otteniamo così l'area:
$A_(ABC)=A_(BCM)+A_(ACM)=(CM*AK)/2+(CM*BK)/2=(CM)/2(AK+BK)=(CM)/2|y_B-y_A|=1/2|(((y_C-y_B)x_A+(y_A-y_C)x_B)/(y_A-y_B)-x_C)*(y_B-y_A)|=1/2|(y_C-y_B)x_A+(y_A-y_C)x_B+(y_B-y_A)x_C|=1/2det((x_A,y_A,1),(x_B,y_B,1),(x_C,y_C,1))$
"oronte83":
La formula è questa:
$Area=1/2det((x_A, y_A, 1),(x_B, y_B, 1),(x_C, y_C, 1))$
La dimostrazione è abbastanza laboriosa...
No, non è laboriosa.
Basta osservare il parallelogrammo avente vertici $V_k$ in
$V_1 = (0;0)$, $V_2 = (x_B-x_A;y_B-y_A)$ e $V_3 = (x_C-x_A;y_C-y_A)$
e $V_4 = (x_B+x_C-2x_A ; y_B+y_C-2y_A)$
e dividere tutto per 2.
"franced":
[quote="oronte83"]La formula è questa:
$Area=1/2det((x_A, y_A, 1),(x_B, y_B, 1),(x_C, y_C, 1))$
La dimostrazione è abbastanza laboriosa...
No, non è laboriosa.
Basta osservare il parallelogrammo avente vertici $V_k$ in
$V_1 = (0;0)$, $V_2 = (x_B-x_A;y_B-y_A)$ e $V_3 = (x_C-x_A;y_C-y_A)$
e dividere tutto per 2.[/quote]
Cosi non lo è...la mia dimostrazione è un tantino diversa come vedi tu stesso.
Pero cosa significa basta osservare il parallelogrammo e dividere per 2?
Dividere per 2 cosa?
"oronte83":
[quote="franced"][quote="oronte83"]La formula è questa:
$Area=1/2det((x_A, y_A, 1),(x_B, y_B, 1),(x_C, y_C, 1))$
La dimostrazione è abbastanza laboriosa...
No, non è laboriosa.
Basta osservare il parallelogrammo avente vertici $V_k$ in
$V_1 = (0;0)$, $V_2 = (x_B-x_A;y_B-y_A)$, $V_3 = (x_C-x_A;y_C-y_A)$
e $V_4 = (x_B+x_C-2x_A ; y_B+y_C-2y_A)$
e dividere tutto per 2.[/quote]
Cosi non lo è...la mia dimostrazione è un tantino diversa come vedi tu stesso.
Pero cosa significa basta osservare il parallelogrammo e dividere per 2?
Dividere per 2 cosa?[/quote]
Ti faccio la dimostrazione, ok?
L'area $S_P$ del parallelogrammo $P$ di vertici $V_k$ ($k=1,2,3,4$) è uguale a
$S_P = | det ((x_B-x_A,x_C-x_A),(y_B-y_A,y_C-y_A)) |$
Per ottenere l'area del triangolo $ABC$ basta dividere per 2.
Per finire, è sufficiente far vedere che
$|det ((x_B-x_A,x_C-x_A),(y_B-y_A,y_C-y_A))| = |det((1,1,1),(x_A,x_B,x_C),(y_A,y_B,y_C))|$
Ok pero devi tirare in ballo una formula simile a quella dell'area del triangolo (cioe la formula dell'area del parallelogrammo). Il nostro amico credo volesse capire da dove salta fuori la matrice. A quel punto bisogna fare da zero una dimostrazione che sfrutti le proprietà analitiche.
"oronte83":
Ok pero devi tirare in ballo una formula simile a quella dell'area del triangolo (cioe la formula dell'area del parallelogrammo). Il nostro amico credo volesse capire da dove salta fuori la matrice. A quel punto bisogna fare da zero una dimostrazione che sfrutti le proprietà analitiche.
In ogni caso tu hai preso 3 punti con coordinate generiche.
Puoi traslare (cosa che io ho fatto, se guardi bene), tanto
l'area non varia.
Altro metodo alternativo:
ti calcoli l'affinità che manda il triangolo generico nel
triangolo di vertici $(0,0)$, $(1;0)$ e $(0;1)$, che ha area uguale a $1/2$.
A questo punto l'area del triangolo iniziale è semplicemente uguale
a $1/2$ per il modulo del determinante della matrice della parte lineare
dell'affinità.
"franced":
In ogni caso tu hai preso 3 punti con coordinate generiche.
Puoi traslare (cosa che io ho fatto, se guardi bene), tanto
l'area non varia.
Appunto perchè la relazione vale per ogni triangolo...le coordinate DEVONO essere generiche, intendi cosi?
Bella l'altra dimostrazione con l'affinita!!
"oronte83":
[quote="franced"]
In ogni caso tu hai preso 3 punti con coordinate generiche.
Puoi traslare (cosa che io ho fatto, se guardi bene), tanto
l'area non varia.
Appunto perchè la relazione vale per ogni triangolo...le coordinate DEVONO essere generiche[/quote]
Non hai capito.
Quando devi dimostrare qualcosa, è bene mettersi, senza perdita di generalità,
in opportune situazioni.
Quando tu dimostri qualcosa su una circonferenza, cosa fai?
Dimostri su una circonferenza generica
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
oppure su
$x^2+y^2=r^2$ ?
"oronte83":
[quote="franced"]
In ogni caso tu hai preso 3 punti con coordinate generiche.
Puoi traslare (cosa che io ho fatto, se guardi bene), tanto
l'area non varia.
Appunto perchè la relazione vale per ogni triangolo...le coordinate DEVONO essere generiche, intendi cosi?
Bella l'altra dimostrazione con l'affinita!!
[/quote]Certo che è bella, è molto elegante.
"franced":
Quando devi dimostrare qualcosa, è bene mettersi, senza perdita di generalità,
in opportune situazioni.
Questo lo so...se non lo sapessi potrei buttare la mia laurea in matematica
. Secondo me pero per la circonferenza è un conto, io mi sono messo nella situazione piu generale possibile: un triangolo arbitrario con coordinate arbitrarie e la dimostrazione è venuta bene lo stesso.Comunque a pagina 229 del primo volume del corso di matematica del Lamberti, edizione PNI, che ho adottato nelle mie classi da diverso tempo, c'è in sostanza la mia dimostrazione.
"oronte83":
[quote="franced"]
Quando devi dimostrare qualcosa, è bene mettersi, senza perdita di generalità,
in opportune situazioni.
Questo lo so...se non lo sapessi potrei buttare la mia laurea in matematica. Secondo me per la circonferenza è un conto, pero io mi sono messo nella situazione piu generale possibile: un triangolo arbitrario con coordinate arbitrarie e la dimostrazione è venuta bene lo stesso.
Comunque a pagina 229 del primo volume del corso di matematica del Lamberti, edizione PNI, che ho adottato nelle mie classi da diverso tempo, c'è in sostanza la mia dimostrazione.[/quote]
Guarda come ragionerei io:
scelgo un punto dei tre, mettiamo $A$ e traslo tutto in modo che $A$ finisca nell'origine del sistema di riferimento.
Ho ottenuto così i punti
$(0;0)$, $(x_B-x_A;y_B-y_A)$ e $(x_C-x_A;y_C-y_A)$.
L'area del triangolo non è variata, in quanto una traslazione
lascia "intatta" l'area.
Ora posso chiamare questi 3 punti così
$(0;0)$ (lui resta così, ovviamente!)
$(x_B-x_A;y_B-y_A) = (h;w)$
$(x_C-x_A;y_C-y_A) = (t;z)$
ora lavoro con 3 punti ma con solo 4 variabili invece di 6.
Alla fine, ma solo alla fine, sostituisco le "vecchie" coordinate,
cioè ogni volta che incontro $h$ metterò $x_B-x_A$, al posto
di $w$ metterò $y_B-y_A$, ecc.
Ti ho convinto?
In ogni caso preferisco la trasformazione affine, molto più "potente".
"oronte83":
[quote="franced"]
Quando devi dimostrare qualcosa, è bene mettersi, senza perdita di generalità,
in opportune situazioni.
Questo lo so...se non lo sapessi potrei buttare la mia laurea in matematica
. Secondo me pero per la circonferenza è un conto, io mi sono messo nella situazione piu generale possibile: un triangolo arbitrario con coordinate arbitrarie e la dimostrazione è venuta bene lo stesso.Comunque a pagina 229 del primo volume del corso di matematica del Lamberti, edizione PNI, che ho adottato nelle mie classi da diverso tempo, c'è in sostanza la mia dimostrazione.[/quote]
Non metto in dubbio l'esattezza della dimostrazione.
Guarda, visto che sei insegnante anche tu, ti consiglio un libro:
"Cominciamo dal punto" di V. Villani (Ed. Pitagora)
Alla ssis ci chiesero di dimostrare analiticamente che le altezze di un triangolo si incontrano
in un punto.
Tanti presero coordinate generiche...
"franced":
Tanti presero coordinate generiche...
E sono ancora lì per finire di fare i conti...
"@melia":
[quote="franced"]Tanti presero coordinate generiche...
E sono ancora lì per finire di fare i conti...
[/quote]Esatto!
La scelta del sistema di riferimento è molto importante e a mio avviso non viene
insegnata bene nelle superiori.
Il sistema di riferimento spesso è "imposto" e su di lui non si discute mai..
Vabbè ma non mi sembra che in questo caso io sia ancora immerso nei conti...è chiaro che se devo insegnare a riferire una figura in un sistema di riferimento - cosa che capita spesso anche all'esame di stato - suggerisco anche io di posizionarla in modo startegico per semplificarsi i conti e personalmente abituo i ragazzi a farlo molto presto.
"In questo caso" ho fatto una dimostrazione, mi è venuta in mente cosi, l'ho portata a termine cosi e stop. Non mi sono posto alcun problema di traslazione. Ho citato il Lamberti, che certo non è un autore da poco, solo per sottolineare il fatto che anche a lui è venuta in mente la stessa strada e l'ha portata a termine esattamente come me. Sono abituato a fare le dimostrazioni, per cui se mi blocco nei conti so bene da solo che devo cambiare strada. Poi ognuno, come continuo a dire, ha i suoi metodi e, purchè arrivi a un risultato corretto, fa come vuole. L'importante è che il nostro amico abbia a disposizione diverse prove adesso, tanti commenti più o meno utili e sceglierà ciò che si confa meglio alle sue esigenze.
"In questo caso" ho fatto una dimostrazione, mi è venuta in mente cosi, l'ho portata a termine cosi e stop. Non mi sono posto alcun problema di traslazione. Ho citato il Lamberti, che certo non è un autore da poco, solo per sottolineare il fatto che anche a lui è venuta in mente la stessa strada e l'ha portata a termine esattamente come me. Sono abituato a fare le dimostrazioni, per cui se mi blocco nei conti so bene da solo che devo cambiare strada. Poi ognuno, come continuo a dire, ha i suoi metodi e, purchè arrivi a un risultato corretto, fa come vuole. L'importante è che il nostro amico abbia a disposizione diverse prove adesso, tanti commenti più o meno utili e sceglierà ciò che si confa meglio alle sue esigenze.
"oronte83":
Vabbè ma non mi sembra che in questo caso io sia ancora immerso nei conti...è chiaro che se devo insegnare a riferire una figura in un sistema di riferimento - cosa che capita spesso anche all'esame di stato - suggerisco anche io di posizionarla in modo startegico per semplificarsi i conti.
"In questo caso" ho fatto una dimostrazione, mi è venuta in mente cosi, l'ho portata a termine cosi e stop. Non mi sono posto alcun problema di traslazione. Ho citato il Lamberti, che certo non è un autore da poco, solo per sottolineare il fatto che anche a lui è venuta in mente la stessa strada e l'ha portata a termine esattamente come me. Sono abituato a fare le dimostrazioni, per cui se mi blocco nei conti so bene da solo che devo cambiare strada. Poi ognuno, come continuo a dire, ha i suoi metodi e, purchè arrivi a un risultato corretto, fa come vuole. Il nostro amico ha a disposizione diverse prove adesso e sceglierà quella che si confa meglio alle sue esigenze.
Non sono d'accordo.
Dobbiamo insegnare ad affrontare i problemi in più modi, non basta che "il conto torni"
e il fatto che un libro faccia così non significa molto, almeno per me.
Tu ti accontenti di risolvere un problema in un solo modo?
Io, spesso, non mi accontento di 2 soluzioni diverse...
Salve: la formula l'ho trovata su Procedimenti Matematici di Zwirner Scaglianti e dice: Date le coordinate dei tre vertici di un triangolo P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) l'area del triangolo sarà:
⎡ x·3 - x·1 y·3 - y·1 ⎤
+-1/2
⎣ x·2 - x·1 y·2 - y·1 ⎦
La vorrei dimostrare ma non ci riesco. Mi potreste aiutare?
⎡ x·3 - x·1 y·3 - y·1 ⎤
+-1/2
⎣ x·2 - x·1 y·2 - y·1 ⎦
La vorrei dimostrare ma non ci riesco. Mi potreste aiutare?
Precisamente la formula è:
⎡ x·3 - x·1 y·3 - y·1 ⎤
⎣ x·2 - x·1 y·2 - y·1 ⎦
Se dal prodotto della matrice esce un numero negativo si moltiplica per -1/2, mentre se positivo si moltiplica per +1/2.
⎡ x·3 - x·1 y·3 - y·1 ⎤
⎣ x·2 - x·1 y·2 - y·1 ⎦
Se dal prodotto della matrice esce un numero negativo si moltiplica per -1/2, mentre se positivo si moltiplica per +1/2.
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