Matrice con domande strane

[ramarro1]

Buongiorno, scusate il disturbo, ho un esercizio da fare che mi mette in difficolta.

SI considerino le matrici
$(1... 2... b)$.....................$(3)$
$(0... 1... b)$.................c= $(2)$
$(3... b... -2)$...................$(-1)$
a) stabilire al variare del parametro reale b, il numero di soluzioni del sistema lineare scritto in forma matriciale Bx=c
b)Determinare tutte le eventuali soluzioni per b=1
c)determinare tutte le eventuali soluzioni per b=-1

DOMANDA1:Allora da quel che ne so io devo calcolare il determinante di B, il problema è che vengono 2 risultati perché è un equaz di secondo grado, e a quel punto avendo 2 risultati non so che devo fare.
DOMANDA2:una volta fatto il primo passaggio, devo sostituire la matrice/colonna per ogni colonna della matrice B, trovare per caso il determinanti di $y1,y2,y3$ e poi fare $((DetB)/(Dety1))$, $((DetB)/(Dety2))$, $((DetB)/(Dety3))$.
DOMANDA3: le richieste 'b' e 'c' sono praticamente uguali e cambia solo il numero del parametro....ma volevo sapere: che cosa dovrei fare in poche parole? devo sostituire i numeri nell'equazione di secondo grado e trovare altri 2 rispettivi determinanti?
Grz
cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":Buongiorno, scusate il disturbo, ho un esercizio da fare che mi mette in difficolta.
SI considerino le matrici
$(1... 2... b)$.....................$(3)$
$(0... 1... b)$.................c= $(2)$
$(3... b... -2)$...................$(-1)$

tu hai le matrici $$ B:= \begin{Vmatrix}
1& 2 &b \\
0& 1 &b \\
3& b &-2
\end{Vmatrix} \; ; \; c:=\begin{Vmatrix}
3\\
2\\
-1
\end{Vmatrix}$$ corretto? Se si, allora la prima domanda che ti devi porre sempre è "quando \( B x= c \) ammette soluzioni?" cerca di rispondere a questa domanda ...

[ramarro1]

la caratteriica/rango è 3 perché il $Det!=0$ il numero di soluzioni penso che sia 1, perché io ho scritto che se la caratteristica è la più alta e il numero di incognite è minore delle equazioni la matrice ha una soluzione. Però se non è cosi non lo so perché non ho altro materiale sulle matrici purtroppo.
Se non ho capito male la caratteristica di una matrice è ugulae al numero minimo di righe o di colonne di una matrice.
Esempio:
matrice (2x2)---> caratteristica max =2
matrice(3x3)----> caratteristica max =3
'' (3x4)----> = 3
'' (4x3)---->=3
'' (4x4)---->=4
Cmq a parte questo non conosco la procedura da seguire dopo. A ogni modo grz per l'aiuto

[@melia]

Per risolvere il problema devi osservare che NON è vero che il determinante è diverso da zero sempre, perché dipende dal valore di $b$, a me risulta $Delta= -b^2+3b-2= - (b-1)(b-2)$, che si annulla per $b=1$ e $b=2$. Per rispondere alle domande puoi usare il teorema di Rouché Capelli o il metodo di Cramer, il secondo vedo che lo conosci, ma il primo sarebbe più generale. In ogni caso anche usando solo Cramer.

Se $Delta !=0$ il sistema è determinato

Se $Delta =0$ hai due possibilità:

$Delta =Delta_x =Delta_y =Delta_z =0$ allorail sistema è indeterminato
$Delta =0$, ma almeno uno tra $Delta_x$, $Delta_y$, $Delta_z$ è $!=0$ allora il sistema è impossibile[/list:u:1p9gvd3u]

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":
Se non ho capito male la caratteristica di una matrice è ugulae al numero minimo di righe o di colonne di una matrice.
Esempio:
matrice (2x2)---> caratteristica max =2
matrice(3x3)----> caratteristica max =3
'' (3x4)----> = 3
'' (4x3)---->=3
'' (4x4)---->=4
Cmq a parte questo non conosco la procedura da seguire dopo. A ogni modo grz per l'aiuto

se per caratteristica intendi rango allora sei fuori strada, meglio che ripassi il concetto di rango di una matrice; e poi, se hai una matrice \(A\) di tipo \( m\times n \) allora certamente (e lo puoi dimostrare) \(\text{rango di }A \leq \min(\{m,n\})\)...
Non avete fatto il teorema di Rouchè-Capelli?

[ramarro1]

Ho fatto un altro tentativo:
Allora ho preso la sottomatrice $(1......2)$
.......................................$(0......1)$
e faccio finta che si chiami $B1$
poi l'ho trasformata in un sistema:
$x+2y=b$
$0x+y=b$
poi ho calcolato il $Detx$ ricavato sostituendo i risultati delle 2 equazioni che sono rispettivamente $b$ e $b$ alla prima colonna e poi l'ho diviso per il $DetB1$
Allora:
$Detx= b*1-2b=-b$, il DetB1 $=1$ quindi mi da $b/1$
poi trovo le y sostituendo i risultati b e b alla seconda colonna:
$Dety=1*b-b*0=b$
e in teoria questa dovrebbe essere la risposta alla prima domanda...penso, altrimenti accetto volentieri vostre spiegazioni.Ciao

[garnak.olegovitc1]

@ramarro,
mi sfugge il tuo modo di ragionare, ripartiamo dall'inizio e dimmi quant'è il il rango di \(B\).. ?!

[ramarro1]

rango=3 perché ha 3 righe, se era una 2x3 il rango era 2, lo stesso vale per una 3x2 anche se in questo caso sono le colonne a determinare il rango, se il $DetB$ fosse stato = 0 allora andavo a prendere la sottomatrice
$(1...2)$
$(0...1)$
e trovavo il determinante della 2x2 che risulta $1$, vedendo questo risultato, il rango valeva $2$

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":rango=3 perché ha 3 righe, se era una 2x3 il rango era 2, lo stesso vale per una 3x2 anche se in questo caso sono le colonne a determinare il rango

questa definizione l'hai letta in qualche testo? Non penso , il rango di una matrice \( A \) di tipo \(m\times n\) è l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla matrice \(A \), un minore di \(A \) è un determinante di una sottomatrice quadrata di \(A \) (sottomatrice che può essere anche \(A \))..
Nel caso di una matrice quadrata \(B\) di ordine \(n\) il rango è proprio \(n\) se \(\det(B) \neq 0\). Devi capire come calcolare il rango di una matrice per potere risolvere sistemi lineari...

[ramarro1]

Si ma è 3 il rango della matrice, scusa ma perché è sbagliato?
Cioè supponiamo di avere una 2x3...il rango puo essere al massimo 2. Allora calcolo il Det. Se il Det è diverso da 0 nella 2x3 allora il rango è di sicuro 2. Nel caso della mia matrice mi pare che sia 3, non capisco perché dici di no, per carità magari sbaglio però gli esercizi sul rango li faccio cosi da 2 anni mi sembra strano che nessuno mi abbia detto che sbagliavo.

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":Si ma è 3 il rango della matrice, scusa ma perché è sbagliato?
Cioè supponiamo di avere una 2x3...il rango puo essere al massimo 2. Allora calcolo il Det. Se il Det è diverso da 0 nella 2x3 allora il rango è di sicuro 2. Nel caso della mia matrice mi pare che sia 3, non capisco perché dici di no, per carità magari sbaglio però gli esercizi sul rango li faccio cosi da 2 anni mi sembra strano che nessuno mi abbia detto che sbagliavo.

nella tua matrice il rango è \(3 \) "se \(b \neq 2 \) e \( b \neq 1 \)", dire solo \(3 \) in questo caso non ha senso data la matrice \(B \) !! Quindi il rango di \(B \) cambia a seconda dei valori di \(b \) !! E lo studio delle soluzioni del sistema \( Bx=c \) tiene conto di questo fatto, se non tieni conto del parametro \(b\) quel \(3\) ( o \(2\)) per me non hanno alcun senso.. adesso è chiaro perchè martellavo sulla def. di rango e compagnia bella, comunque sia la tua definizione di rango rimane sempre errata anche se da come dici sai calcolarlo!! Per il tuo esercizio, avendo la def. giusta di rango, ti basta (come ha detto @melia) applicare il teorema di Rouchè-Capelli...

[ramarro1]

Rouche Capelli non lo so fare, pero mi sembra di aver capito che per rispondere alla domanda:
Stabilire al variare del parametro reale b , il numero di soluzioni del sistema lineare scritto in forma matriciale Bx=c
devo dire:
abbiamo un'unica soluzione per ogni b con $b!=1$;$b!=2$
se $b=1$ abbiamo infinite soluzioni
se $b=2$ nessuna
Il fatto è che non so come dire se ci sono infinite soluzioni e se non ce ne è neanche una....me lo potresti dire per fav?
Cioè se serve Rouche capelli, me lo potresti spiegare in parole povere, ma proprio povere che non hanno tante formule strane in mezzo?

[axpgn]

Un'esposizione semplificata del Teorema di Rouchè-Capelli la puoi trovare qui:
http://www.ripmat.it/mate/a/ai/aibbcf.html

[ramarro1]

allora ho fatto un'altra cosa, ma non so se va bene o se sia l'ennesimo buco nell acqua:
scrivo la matrice come se fosse un sistema
$x+2y+bz=3$
$y+bx=2$
$-3x+by-2z=-1$
dove 3 2 -1 sono i numeri della colonna (c)
poi calcolo il determinante di questa matrice(trasformata in sistema)

esce quello che cè nel link sopra...purtroppo le ultime 2 matrici non ci stavano nel documento, e poi mi viene tagliato un pezzo, se qualcuno mi sa dire come postarla me lo dicaforse pero si capisce più o omeno quel che intendevo fare..poi alla fine facendo rurri i conti esce
$-9b^2-11b+6$
va bene?

[axpgn]

In teoria è la stessa cosa solamente che hai sbagliato a scrivere il sistema ...
Dovrebbe essere questo:

$x+2y+bz=3$
$y+bz=2$
$3x+by-2z=-1$

Riparti da lì ma dovresti ottenere lo stesso risultato di prima (non l'ultimo che hai messo perché in questo caso parti da un sistema sbagliato)

Cordialmente, Alex

[ostrogoto1]

Se puo' servire a riordinare le idee provo a scrivere lo schema generale per trovare le soluzioni di un sistema di n equazioni in n incognite che scrivo brevemente cosi':
$ Avec(x)=vec(b) $
dove A risulta ovviamente una matrice quadrata di ordine n, $ vec(x) $ e' il vettore delle incognite, $ vec(b) $ e' il vettore dei termini noti.

Calcolo il determinante di A.
Se $ det A != 0 $ allora concludo con il teorema di Kramer che la soluzione esiste ed e' unica e data da
$ x_(i\)= det D_(i\)/det A $ dove $ det D_(i\) $ e' il determinante della matrice A nella quale si sostituisce la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.
Se $ det A = 0 $ allora per decidere se il sistema ammette o meno soluzione uso il teorema di Roche'-Capelli:
un sistema di equazioni lineari in m equazioni in n incognite ammette soluzioni (una o infinite) se e solo se la matrice incompleta (la matrice dei coefficienti) e la matrice completa (matrice dei coefficienti con in piu' la colonna dei termini noti) hanno lo stesso rango.

Regola di soluzione per sistemi generici di m equazioni in n incognite. La matrice incompleta sia di rango k.
1) si considerino solo k equazioni del sistema in modo che il rango della matrice dei coefficienti di queste equazioni sia k.
Ottengo cosi' un sistema di k equazioni in n incognite.
2) si considerano k incognite nel sistema precedente in modo che il determinante della matrice dei loro coefficienti sia diverso da 0
3) Ottengo un sistema di k equazioni in k incognite con determinante della matrice dei coefficienti diverso da 0 quindi applico Kramer.

Noat: se k

Cita

Segnala

[ramarro1]

Si è vero cè un $3$ non un $-3$...
cmq ora l'ho rifatto
e mi viene $-2b^2-4b+2$...ok se è giusto poi che cosa devo fare?

[axpgn]

No, non è giusto, non c'era solo il $3$ sbagliato ...
Il risultato giusto è quello postato da @melia e ti consiglio di rileggere quel post perché ti dice esattamente cosa fare ...
Inoltre un consiglio: calma, calma e ... calma ; dai l'impressione di fare le cose con troppa frenesia e così è più facile sbagliare ...
Cordialmente, Alex

[garnak.olegovitc1]

la discussione, a mio modesto e scarso, sta andando un po oltre il dovuto... semplicemente il teorema di Rouchè-Capelli dice:

Siano dati un sistema lineare scritto in forma matriciale del tipo \( A X =c \), esso è compatibile (ovvero ammette soluzioni) se e solo se \( \mathbf{rnk}(A)=\mathbf{rnk}(A|c)\); con \( A|c\) la matrice completa del sistema

nel tuo caso $$ A=\begin{Vmatrix} 1& 2 &b \\ 0& 1 &b \\ 3& b &-2 \end{Vmatrix} \; \;; \; \;X:= \begin{Vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{Vmatrix} \;\;;\; \; c=\begin{Vmatrix} 3\\ 2\\ -1 \end{Vmatrix} $$ quindi $$ A|c=\begin{Vmatrix} 1& 2 &b &3 \\ 0& 1 &b &2\\ 3& b &-2 &-1 \end{Vmatrix}$$
Devi determinare l'insieme delle soluzioni del sistema lineare \(AX =c\), ergo vedere intanto se è compatibile, e valutando il \(\mathbf{rnk}(A)\) si nota che:
1) se \( b \neq 2 \wedge b \neq 1\) allora \(\mathbf{rnk}(A)=3 \)
2) se \( b \neq 2 \vee b \neq 1\) allora \(\mathbf{rnk}(A)<3 \)

*) nel punto \(1\) si ha inoltre che \(\mathbf{rnk}( A|c)=\mathbf{rnk}(A)=3\), poichè \( A \) è sottomatrice di \( A|c\), quindi è il sistema è compatibile e determinato, inoltre \(\mathbf{rnk}(A)=3=\text{numero delle incognite del sistema}\) ergo per definizione il sistema è Crameriano e le soluzioni sono date dalla regola di Cramer

*) nel punto \(2\) si ragiona per casi:
- se \(b=1\) allora \( A:=\begin{Vmatrix} 1& 2 &1 \\ 0& 1 &1 \\ 3& 1 &-2 \end{Vmatrix}\) e si nota facilmente che \(\mathbf{rnk}(A)=2\), si nota anche che \(2=\mathbf{rnk}( A|c)=\mathbf{rnk}(A)\) poichè le sottomatrici \(\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{Vmatrix}\) e \(\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{Vmatrix}\) di \( A|c\) (ovvero gli orlati del minore \( \begin{Vmatrix} 1&2 \\0 &1 \end{Vmatrix}\)) hanno determinante nullo.. allora per \( b=1\) il sistema è compatibile ed avendo \(\mathbf{rnk}(A)=2<\text{numero delle incognite del sistema}\) è anche indeterminato e si dice che ammette \(\infty^{3-2=1}\) soluzioni
- se \(b=2\) allora \( A:=\begin{Vmatrix} 1& 2 &2 \\ 0& 1 &2\\ 3& 2 &-1 \end{Vmatrix}\) e si nota facilmente che \(\mathbf{rnk}(A)=2\), si nota anche che \(3=\mathbf{rnk}( A|c)\neq\mathbf{rnk}(A)\) poichè la sottomatrice \(\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{Vmatrix}\) di \( A|c\) ha determinante non nullo il sistema è incompatibile e impossibile

Quindi:
-per \(b\neq 1 \wedge b \neq 2\) le soluzioni le puoi determinare dalla semplicissima regola di Cramer
-per \(b=2\) non esistono soluzioni
-per \(b=1\) vi sono \(\infty^1\) soluzioni

Così facendo si risolve il punto a)... a te gli altri due, e per favore usa la codifica in \(\LaTeX\) o AsciiMathML..

[@melia]

Esattamente quello che ho detto io una pagina fa e in poche righe.

[garnak.olegovitc1]

"@melia":Esattamente quello che ho detto io una pagina fa e in poche righe.

io e @axpgn gli abbiamo detto di fare come avevi scritto ma non capisco perchè @ramarro ha continuato a fare/dire/scrivere altre cose..

@ramarro,
Adesso dovresti essere in grado di rispondere al punto b) e c).. aspettiamo le tue eventuali risposte, io aspetto maggiormente la risposta al punto b)