Matrice con domande strane

[ramarro1]

Buongiorno, scusate il disturbo, ho un esercizio da fare che mi mette in difficolta.

SI considerino le matrici
$(1... 2... b)$.....................$(3)$
$(0... 1... b)$.................c= $(2)$
$(3... b... -2)$...................$(-1)$
a) stabilire al variare del parametro reale b, il numero di soluzioni del sistema lineare scritto in forma matriciale Bx=c
b)Determinare tutte le eventuali soluzioni per b=1
c)determinare tutte le eventuali soluzioni per b=-1

DOMANDA1:Allora da quel che ne so io devo calcolare il determinante di B, il problema è che vengono 2 risultati perché è un equaz di secondo grado, e a quel punto avendo 2 risultati non so che devo fare.
DOMANDA2:una volta fatto il primo passaggio, devo sostituire la matrice/colonna per ogni colonna della matrice B, trovare per caso il determinanti di $y1,y2,y3$ e poi fare $((DetB)/(Dety1))$, $((DetB)/(Dety2))$, $((DetB)/(Dety3))$.
DOMANDA3: le richieste 'b' e 'c' sono praticamente uguali e cambia solo il numero del parametro....ma volevo sapere: che cosa dovrei fare in poche parole? devo sostituire i numeri nell'equazione di secondo grado e trovare altri 2 rispettivi determinanti?
Grz
cordiali saluti

[ramarro1]

Ok allora grz a tutti, dall'ultima spiegazione ho capito di più perché devo vedere i ragionamenti con le loro operazioni associate.
Comunque, continuiamo...il punto b) chiede di determinare le soluzioni per $b=1$, l'operazione è quella di prima, quindi se $b=1$ il risultato è $\infty^((n-incognite)-(n rango))$--->3-2=1 che da infinito.

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":
...il punto b) chiede di determinare le soluzioni per $b=1$, l'operazione è quella di prima, quindi se $b=1$ il risultato è $\infty^((n-incognite)-(n rango))$--->3-2=1 che da infinito.

si ok ma non hai certo finito; lasciando stare la teoria.. sai esplicitare le soluzioni di un sistema lineare nel caso in cui questo è compatibile ma indeterminato? Avete affrontato casi/esercizi a scuola? Il prof. ha mostrato qualche esempio?

[ramarro1]

Gli es in classe che abbiamo fatto riguardano si le matrici, ma chiedono altre cose tipo, di calcolare solo il determinante, o solo calcolare la caratteristica, o di fare la riduzione di Gauss, in poche parole questo esercizio lo chiede nelle interrogazioni anche se non l'ha mai spiegato.
Va be cmq non so se è giusto, ma forse devo dire che tengo conto solo della piccola matrice:
$((1,2),(0,1))$, ---->$Det=1$
e dire che è di Rango$2$,
poi volendo si scrive a sistema:
$((1x+2y$
$((y$
il problema è che non so a che cosa eguagliare le 2 equazioni...forse vanno eguagliate a $3$ e a $2$?
nel caso fosse giusto il ragionamento proseguo poi al massimo mi dite voi se ho sbagliato:
risolvo facendo:
$y=(-1x+3)/(2)$
$y=2$
...
$(-1x+3)/(2)=2$
moltiplico destra e sinistra x$2$
$-1x-1=0$
$-1x=1$
$1x=-1$

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":
poi volendo si scrive a sistema:
$((1x+2y$
$((y$
il problema è che non so a che cosa eguagliare le 2 equazioni...forse vanno eguagliate a $3$ e a $2$?
nel caso fosse giusto il ragionamento proseguo poi al massimo mi dite voi se ho sbagliato:
risolvo facendo:
$y=(-1x+3)/(2)$
$y=2$
...
$(-1x+3)/(2)=2$
moltiplico destra e sinistra x$2$
$-1x-1=0$
$-1x=1$
$1x=-1$

mi sto sforzando a capire come/cosa hai scritto... hai letto questa pagina?

[ramarro1]

$\{(1x+2y=3),(y=2):}$
$\{(2y=-1x+3),(y=2):}$
$(-1x+3)/(2)=2$

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":
$\{(2y=-1x+3),(y=2):}$

mmm che devi considerare un minore non nullo di ordine pari al \(\mathbf{rnk}(A)\) per \(b=1\) è corretto, il sistema però è errato, devi prendere (considerando il minore non nullo della sottomatrice \(\begin{Vmatrix} 1 &2 \\ 0 & 1 \end{Vmatrix}\)) il sistema $$\begin{cases}
x_1+2x_2+x_3=3\\
x_2+x_3=2
\end{cases}$$ perchè si fa cosi? Perchè i due sistemi quello principale e questo ammettono stesse soluzioni!! Cosa fare adesso? Per non rendere pesanti le motivazioni di ogni singolo passaggio preferisco essere discorsivo; il fatto di avere in questo caso \(\infty^1\) soluzioni ti suggerisce in un certo senso di prendere \(1\) incognita \(x_i\), con \(i \in \{1,2,3\}\), e di esprimere le restanti \( x_j\), con \(j \in \{1,2,3\}-\{i\}\), in funzione di \(x_i\) (di solito si prende quella che è presente in almeno entrambe le due equazioni... ad esempio, scelgo \(x_2\) ergo \(x_1,x_3\) le devo esprimere in funzione di \(x_2\) avendo $$\begin{cases}
x_1+2x_2+x_3=3\\
x_3=2 -x_2
\end{cases} \to \begin{cases}
x_1+2x_2+2-x_2=x_1+x_2+2=3\\
x_3=2 -x_2
\end{cases} \to \begin{cases}
x_1=1-x_2\\
x_3=2 -x_2
\end{cases}$$ le soluzioni perciò sono quella dell'ultimo sistema ricordando ovviamente che \( x_2 \in \Bbb{R}\)..
Il procedimento ti è chiaro in linee generali? Se si, procedi al punto c)..

[giammaria2]

Due piccoli inviti al rispetto del regolamento.
@ ramarro. Vanno evitate le abbreviazioni dei messaggini e nel tuo penultimo post leggo sia "es" che "cmq".
@ garnak.olegovitc. Le citazioni vanno fatte solo quando veramente utili e limitatamente a poche frasi (meglio una sola), per non appesantire la lettura.

[ramarro1]

Proseguo con il punto c), sostituisco $-1$ a $b$, calcolo il $Det=-6$...si puo dire che è compatibile, poi
sostituisco la colonna $c$ all'ultima colonna della matrice $B$
$\{(1,2,3),(0,1,2),(3,-1,-1))$
trovo il $Det$, in questo caso il determinante viene diverso da $0$, e il rango è $=3$, se invece veniva uguale a zero, non avevamo nessuna soluzione(un po come la condizione di prima in cui avevamo $b=2$).
poi cè il sistema:
stavolta prendo 3 colonne e 3 righe perché il rango non è $2$ come nel punto b.
$\{(x1+2x2-x3=3),(x2-x3=2),(3x1-x2-2x3=-1)$
ecco poi in teoria andrebbe risolto ma è lunghissimo, tipo trovo $-x3=(2x2-6x1+2)/2$==>$x3=(6x1-2x2-2)/2$

[garnak.olegovitc1]

per \(b=-1\) la matrice (incompleta) \(A\) diventa: $$A=\begin{Vmatrix} 1& 2 &-1 \\ 0& 1 &-1 \\ 3& -1 &-2 \end{Vmatrix}$$ tenendo conto dei casi precedenti:

"garnak.olegovitc":si nota che:
1) se \( b \neq 2 \wedge b \neq 1\) allora \(\mathbf{rnk}(A)=3 \)

si capisce a volo che se \(b=-1\) allora \(\mathbf{rnk}(A)=3\) poichè in questo caso \(-1=b \notin \{2,1\}\), allora anche \(\mathbf{rnk}(A|c)=3\) per \(b=-1\) poichè \(A\) è un minore non nullo di ordine massimo estraibile da \( A|c\), allora
- per \(b=-1\) il sistema è, certamente, compatibile e determinato, e soprattutto crameriano (quindi le soluzioni sono date dalla regola di Cramer). Non hai esplicitato le eventuali soluzioni...

[ramarro1]

${(x1+2x2-x3=3),(x2-x3=2),(3x1-x2-2x3=-1):}$
poi facendo tutte le sostituzioni nelle equazioni dovrei avere:
${(x1=(3x1-5x2+7)/2),(x2=x3+2),(x3=(3x1-x2+1)/(2)):}$
era questo alla fine il passaggio mancante?

[garnak.olegovitc1]

"ramarro":
poi facendo tutte le sostituzioni nelle equazioni dovrei avere:
${(x1=(3x1-5x2+7)/2),(x2=x3+2),(x3=(3x1-x2+1)/(2)):}$
era questo alla fine il passaggio mancante?

forse mi sono spiegato male, ma sai applicare Cramer a quel sistema? Non vuoi fare Cramer?! Hai preferito usare il metodo di sostituzione ma non hai finito..
Se non hai scritto male il sistema dovresti avere $$x_1 = \frac{-1}{3}\;,\; x_2 =\frac{ 4}{3} \; , \; x_3 =\frac{ -2}{3}$$ Spero sia tutto, ciao!

[ramarro1]

Si, ora ho capito, va bene tutto sommato in una settimana ho fatto una tipologia di esercizio, che comunque non è male perché senza questo sito, messi male come siamo noi sarei arrivato a settembre senza sapere neanche dove partire....la prossima volta faro una matrice uguale a questa(con numeri diversi) e la pubblico tutta, male che vada sbaglio qualche conto almeno però il metodo lo so! Grz Ciao

[garnak.olegovitc1]

Ti propongo un esercizio:

dato il sistema \(\Sigma:=\left\{\begin{matrix} x-y+3t=5\alpha \\ \alpha x+z+t=2\gamma\\ 2x+\beta y+3z=1 \end{matrix}\right.\) con \( \alpha,\beta,\gamma,t \in \Bbb{R}\), studiare/discutere/risolvere il sistema lineare \( \Sigma\)

prova