Matematica circonferenza (37894)
non ho proprio idea di come si faccia dato ke il prof nn le ha spiegate,,mi potreste aiutare-??? questa è la traccia:
dopo aver determinato gli elementi fondamentali (punti base, asse radicale, retta dei centri ) del fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2+4x-y+K(x^2+y^2-2x)=0, determina per quale valore di k si ottengono:
-la circonferenza passante per il punto (2;1)
- la circonferenza di raggio 1
- la circonferenza con centro sull'asse y.
se lo fate vi ringrazio molto...fatemi sapere al più presto...ciao...
Aggiunto 1 minuti più tardi:
i risultati sono :
per la prima domanda il valore di k deve essere -12
per la seconda il valore di k deve essere 13/24
e per la terza il valore di k deve essere 2
dopo aver determinato gli elementi fondamentali (punti base, asse radicale, retta dei centri ) del fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2+4x-y+K(x^2+y^2-2x)=0, determina per quale valore di k si ottengono:
-la circonferenza passante per il punto (2;1)
- la circonferenza di raggio 1
- la circonferenza con centro sull'asse y.
se lo fate vi ringrazio molto...fatemi sapere al più presto...ciao...
Aggiunto 1 minuti più tardi:
i risultati sono :
per la prima domanda il valore di k deve essere -12
per la seconda il valore di k deve essere 13/24
e per la terza il valore di k deve essere 2
Risposte
Nel tuo fascio di circonferenze, hai le due circonferenze generatrici, che sono:
I punti base sono i due punti da cui passano tutte le circonferenze.
Dal momento che hai le due generatrici, anch'esse condivideranno i punti base, che pertanto saranno la soluzione del sistema
L'asse radicale, altro non e' che la differenza tra le due circonferenze generatrici, e quindi il risultato di
Il luogo dei centri lo ricavi:
scrivendoti il fascio nella forma canonica (ovvero moltiplicando k per tutta la circonferenza tra parentesi e raccogliendo x^2, y^2 ecc.
A quel punto trovi x e y generica del centro e, una volta scritte ascissa e ordinata in funzione di k, ricavi k e eguagli.
cioe':
Raccogli a fattore parziale secondo l'incognita:
Ti ricavi x e y del centro
Dal momento che alla y non compare il parametro k, significa che tutti i centri hanno ordinata fissa e pertanto giaciono sulla retta
Per ottenere la circonferenza passante per il punto, e' sufficiente che tu sostituisca le coordinate del punto (x e y) alle x e y del fascio. Troverai un'equazione in k.
Dal fascio scritto come l'abbiamo riportato per calcolare il centro generico, ti ricavi il raggio (con la formula) e lo poni = 1.
Anche qui dovrai risolvere un'equazione in k.
Dal momento che abbiamo trovato le coordinate generiche del centro, sai che la circonferenza con centro sull'asse y avra' x del centro = 0.
Ma siccome x del centro = -2+k = 0. allora k=2.
sostituisci 2 al valore di k e trovi la circonferenza, sommando e sottraendo i monomi simili.
[math] C_1:x^2+y^2+4x-y \\ C_2:x^2+y^2-2x [/math]
I punti base sono i due punti da cui passano tutte le circonferenze.
Dal momento che hai le due generatrici, anch'esse condivideranno i punti base, che pertanto saranno la soluzione del sistema
[math] \{ x^2+y^2+4x-y \\ x^2+y^2-2x [/math]
L'asse radicale, altro non e' che la differenza tra le due circonferenze generatrici, e quindi il risultato di
[math] x^2+y^2+4x-y-(x^2+y^2-2x) [/math]
Il luogo dei centri lo ricavi:
scrivendoti il fascio nella forma canonica (ovvero moltiplicando k per tutta la circonferenza tra parentesi e raccogliendo x^2, y^2 ecc.
A quel punto trovi x e y generica del centro e, una volta scritte ascissa e ordinata in funzione di k, ricavi k e eguagli.
cioe':
[math] x^2+y^2+4x-y+k(x^2+y^2-2x)=0 \to \\ x^2+y^2+4x-y+kx^2+ky^2-2kx [/math]
Raccogli a fattore parziale secondo l'incognita:
[math] x^2(1+k)+y^2(1+k)+x(4-2k)-y=0 [/math]
Ti ricavi x e y del centro
[math] x_c=- \frac{4-2k}{2} \to x_c=-2+k \\ y_c= \frac12 [/math]
Dal momento che alla y non compare il parametro k, significa che tutti i centri hanno ordinata fissa e pertanto giaciono sulla retta
[math] y= \frac12 [/math]
Per ottenere la circonferenza passante per il punto, e' sufficiente che tu sostituisca le coordinate del punto (x e y) alle x e y del fascio. Troverai un'equazione in k.
Dal fascio scritto come l'abbiamo riportato per calcolare il centro generico, ti ricavi il raggio (con la formula) e lo poni = 1.
Anche qui dovrai risolvere un'equazione in k.
Dal momento che abbiamo trovato le coordinate generiche del centro, sai che la circonferenza con centro sull'asse y avra' x del centro = 0.
Ma siccome x del centro = -2+k = 0. allora k=2.
sostituisci 2 al valore di k e trovi la circonferenza, sommando e sottraendo i monomi simili.
grazie però nn ho capito cm si fa calcolarsi la circonferenza di raggio 1
e la circonferenza cn centro sull'asse y...nn li ho capiti potresti spiegarli meglio..??
e la circonferenza cn centro sull'asse y...nn li ho capiti potresti spiegarli meglio..??
Abbiamo detto che la circonferenza parametrica (ovvero il fascio) e':
Per prima cosa la scrivi nella forma canonica
(e pertanto ti chiedo scusa, perche' sopra ho sbagliato..)
Quindi abbiamo i parametri:
Il centro generico della circonferenza sara':
e
E pertanto siccome (dalla seconda) trovi che
Sostituendo nella x del centro, avrai
e dunque la retta dei centri sara'
Il raggio generico delle circonferenze del fascio sara'
Ma siccome c=0, avremo
Perche' vogliamo raggio = 1.
elevi tutto al quadrato e risolvi l'equazione, trovando il/i valore/i di k.
La circonferenza con centro sull'asse y, avra
Ma siccome
a questo punto sostituisci 2 ai valori di k del fascio e ottieni la circonferenza di interesse.
[math] (1+k)x^2+(1+k)y^2+(4-2k)x-4y = 0 [/math]
Per prima cosa la scrivi nella forma canonica
[math] x^2+y^2+ \frac{4-2k}{1+k}x- \frac{4}{1+k}y = 0 [/math]
(e pertanto ti chiedo scusa, perche' sopra ho sbagliato..)
Quindi abbiamo i parametri:
[math] a= \frac{4-2k}{1+k} \\ b= - \frac{4}{1+k} \\ c=0 [/math]
Il centro generico della circonferenza sara':
[math] x_c= - \frac{ \frac{4-2k}{1+k}}{2} = - \frac{2-k}{1+k} [/math]
e
[math] y_c= - (- \frac{ \frac{4}{1+k}}{2})= \frac{2}{1+k} [/math]
E pertanto siccome (dalla seconda) trovi che
[math] y_c(1+k)= 2 \to k= \frac{2}{y_c}-1 [/math]
Sostituendo nella x del centro, avrai
[math] x_c= - \frac{2-( \frac{2}{y_c}-1)}{1+ \frac{2}{y_c}-1} = - \frac{ \frac{y_c-2}{y_c}}{ \frac{2}{y_c}= \frac{-y_c+2}{2} [/math]
e dunque la retta dei centri sara'
[math] y_c=-2x_c+4 [/math]
Il raggio generico delle circonferenze del fascio sara'
[math] r= \sqrt{(x_c)^2+(y_c)^2-c} [/math]
Ma siccome c=0, avremo
[math] \sqrt{ (- \frac{2-k}{1+k})^2+ ( \frac{2}{1+k})^2} = 1 [/math]
Perche' vogliamo raggio = 1.
elevi tutto al quadrato e risolvi l'equazione, trovando il/i valore/i di k.
La circonferenza con centro sull'asse y, avra
[math] x_c=0 [/math]
perche' sappiamo che tutti i punti che giaciono sull'asse y hanno ascissa =0.Ma siccome
[math] x_c=- \frac{2-k}{1+k} = 0 \to 2-k=0 \to k=2 [/math]
a questo punto sostituisci 2 ai valori di k del fascio e ottieni la circonferenza di interesse.
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