MATEMAtica 1 superiore!!!!

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aiuto sono disperata!!! :cry :cry :cry :cry
potreste spiegarmi le relazioni in un insieme....
in particolare:
relazione di equivalenza - classi di equivalenza...insieme quoziente
relazione d'ordine - ordine stretto e ordine largo -ordine totale e parziale.
potreste spiegarmi questi arogmenti e mgari per rendervi pù facile il lavoro potreste anke fare degli esempi....vi prego aiutatemiiii

[aleio1]

Allora una relazione tra due insiemi A e B

Si indica con

[math]{R}: \ A\rightarrow B[/math]

è una legge che associa ad un elemento del primo insieme un elemento dell'altro.
Cioè se il primo insieme contiene le lettere dell'alfabeto e il secondo insieme contiene i numeri da 1 a 10 una legge che dice:

"Alla lettera A associa il numero 3 e alla lettera T associa il numero 9"

è una relazione.

In realtà in senso più ampio una relazione è un qualunque enunciato che coinvolga 2 o più oggetti.
Se indichi con

[math]\sim[/math]

una relazione

[math]R[/math]

allora

[math]a\sim b[/math]

significa che a è in relazione con b

Ora relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e insieme quoziente sono concetti strettamente connessi:

Una relazione di equivalenza è una particolare relazione da un insieme in se stessa che rispetta certe proprietà.

-Riflessività:

[math]a\sim a[/math]

-Simmetria:

[math]a\sim b\Rightarrow b\sim a[/math]

-Transitività:

[math]a\sim b, \ \ b\sim c \Rightarrow a\sim c[/math]

Il tutto per qualsiasi elemento

[math]a,b,c[/math]

che coinvolge la relazione.

Una relazione di equivalenza cosa fa quindi? associa 2 elementi. Tecnicamente 2 elementi associati da una relazione di equivalenza sono uguali (l'uguaglianza tra l'altro è una particolare relazione di equivalenza).

Quindi possiamo dire che data una relazione tra 2 insiemi diciamo che una classe di equivalenza è formata dagli elementi che sono associati a due a due dalla relazione di equivalenza.
Quindi presi due elementi

[math]a,b[/math]

hai che essi appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se

[math]a\sim b[/math]

.

Nota che ogni relazione di equivalenza ripartisce un insieme in classi di equivalenza.
Ora un insieme quoziente che si indica con

[math]A/{\sim}[/math]

è l'insieme di queste classi di equivalenza.
E' come se la relazione

[math]\sim[/math]

avesse decimato l'insieme sul quale è definita mettendo insieme tutti gli elementi associati dalla relazione stessa.

Immagina l'insieme dei numeri razionali (le frazioni). La relazione che è presente in questo insieme è la seguente

[math]\frac ab \sim \frac cd \Leftrightarrow ad=bc[/math]

cioè due frazioni sono uguali se e solo se i prodotti incrociati numeratore denominatore sono uguali.
(es.

[math]\frac12 =\frac 24 [/math]

infatti

[math]1\cdot4=2\cdot2[/math]

Puoi verificare se vuoi che la relazione è di equivalenza.
L'insieme delle classi di equivalenza è detto insieme quoziente.





Una relazione d'ordine è una relazione che per certi versi puoi paragonare a quella di equivalenza (per altri puoi opporla ad essa).
E' una relazione

[math]\le[/math]

("essere maggiore o uguale" è una relazione d'ordine) da un insieme A in se stesso che rispetta queste proprietà:

-Riflessività:

[math]a\le[/math]

-Antiimmetria:

[math](a\le b\Rightarrow b\le a) \Leftrightarrow a=b[/math]

Cioè la simmetria vale se e solo se gli elementi sono uguali.
-Transitività:

[math]a\le b, \ \ b\le c \Rightarrow a\le c[/math]

A volte si distingue tra relazione d'ordine largo e di ordine stretto.

Le prime sono definite come ti ho detto poco fa.

Le seconde rispettano solo l'antisimmetria e la transitività.

Gli esempi più banali sono:

Relazione d'ordine largo:

[math]a\ge b[/math]

o allo stesso modo

[math]c\le d[/math]

.

Relazione d'ordine stretto

[math]a>b[/math]

o allo stesso modo [math]c