Massimo e minimo assoluti in funzione trigonometrica

[etec83]

Mi dite se ho sbagliato tutto? E dove sbaglio?
Allora devo calcolare massimo e minimo assoluti di queste due funzioni, continue negli intervalli chiusi e limitati a fianco indicati

1)$y = 1/2 sen2x - senx$ $[0; pigreco]$

2) $y = |senx + cosx|$ $[0; pigreco]$


1)
$y = 1/2 sen2x - senx$
$y ' = cos2x - cosx $

$cos2x - cosx > 0$

ma $cos2x = cos^2(x) - sen^2(x)$

$cos^2(x) - sen^2(x) - cosx > 0$
$cos^2(x) - 1 + cos^2(x) - cosx > 0$
$2cos^2(x) - cosx - 1 > 0$

$cosx = t$

$2t^2 - t - 1 > o$

$t1 < -1/2$ e $t2 > 1$

$cosx < -1/2$ e $cosx > 1$ ------> impossibile

-1_____________-1/2____________1
|_______________|_ _ _ _ _ _ _ _ |
...........più...................meno...........

in -1/2 si ha un massimo

$cosx = -1/2$ -------> $x = (2/3)pi + 2kpi$ -------> ho un massimo


2)

$y = |senx + cosx|$
$y' = |cosx - senx|$

$|cosx - senx| > 0$

$cosx - senx > 0$
e
$cosx - senx < 0$

$cosx > senx$ --------> $tgx < 1$ ---------> $x < pi/4$


$cosx < sen x$ ---------> $tgx > 1$ -------------> $x > pi/4$


Si ha il massimo del modulo solo in $x = pi/4 + ???$ (qua che metto??)

[@melia]

"etec83":Mi dite se ho sbagliato tutto? E dove sbaglio?

Nella prima va tutto bene fino a qui $cosx < -1/2$ e $cosx > 1$ adesso prima di fare il grafico devi trovare i valori della x che è la tua incognita, quindi la derivata prima è positiva per $2/3pi+2kpi
0___________$2/3pi$________$4/3pi$________$2pi$
-----------------+++++++++++----------------
Quindi un minimo a $x=2/3pi $
e un massimo a $x=4/3pi $

Vedo adesso che l'intervallo è limitato tra 0 e $pi$ quindi il minimo va bene mentre il massimo si trova in uno dei due estremi O in 0 o in $pi$

2) $y = |senx + cosx|$ $[0; pigreco]$
Qui invece ci sono dei problemi da subito perché non sai derivare il valore assoluto, quindi prima devi separare i due casi e poi calcolarti le derivate

[etec83]

No scusami, vediamo se ho capito.

Allora io ho come risultato $cosx < (-1/2)$ e $cosx > 1$, perciò:

$(2/3)pi + 2kpi < x < pi$

quindi in $x = 2/3pi$ é un minimo

0_______________$(2/3)pi$_____________$pi$
--------------------|+++++++++++++++

Il massimo invece sono entrambi gli estremi... o 0, o $pi$


Nel secondo invece non ho capito come si procede, cioé in che senso devo separare i due casi?
Cioé, fammi capire come si parte?

[@melia]

1) Hai capito bene, il massimo è sia in 0 che in $pi$ perché la funzione assume lo stesso valore $f(0)=f(pi)=0$

2) $y = |senx + cosx|$ $[0; pigreco]$ diventa $y=\{(sinx+cosx if 0<=x<=3/4pi),(-sinx-cosx if 3/4pi da cui
$y'=\{(-sinx+cosx if 0<=x<3/4pi),(sinx-cosx if 3/4pi e adesso devi fare lo studio del segno della derivata

[etec83]

2) Magari la domanda é banale, ma perché $3/4 pi$ ?
Cioé perché prima compreso tra $3/4 pi$ e 0 e poi tra $3/4 pi$ e $pi$?

E poi un'altra cosa, quando risolvo ad esempio la prima ho:

$y' = cosx - senx$
$cosx - senx > 0$
$cosx > senx$

$tgx < 1$

Quindi la x é minore di 1 sia per $pi/4 <= x <= 0$ ma anche per $pi/2< x <= 3/4 pi$ ed il grafico quindi diventerà:

0________________$pi/4$____________$pi/2$_____________$3/4 pi$
| ++++++++++++++|---------------O++++++++++++|

E giusto quindi così, dicendo che 0 é un minimo, $pi/4 + 2kpi$ e $3/4 pi + 2kpi$ sono invece massimi?


Ed invece per la seconda ottengo come risultato

$tgx > 1$

Ma se compreso tra $3/4 pi$ e $pi$ la tgx non é mai maggiore di 1, quindi il risultato di ciò cosa sarebbe? impossibile?

[@melia]

"etec83":2) Magari la domanda é banale, ma perché $3/4 pi$ ?
Cioé perché prima compreso tra $3/4 pi$ e 0 e poi tra $3/4 pi$ e $pi$?

perché $|sinx +cosx|$ diventa $y=\{(sinx+cosx if sinx+cosx>=0 if 0<=x<=3/4pi),(-sinx-cosx if sinx+cosx<0 if 3/4pi

"etec83":E poi un'altra cosa, quando risolvo ad esempio la prima ho:
$y' = cosx - senx$; $cosx - senx > 0$; $cosx > senx$
$tgx < 1$

Per passare da $cosx > senx$ a $tgx < 1$ hai diviso per $cosx$, ma forse qualcuno ti ha detto che è positivo? Nelle disequazioni è vietato dividere per un fattore di cui non si conosce il segno, e tu il segno del coseno non lo conosci proprio

[etec83]

Ah già!!
Ma quindi rimembrami come si risolvono, giusto per curiosità, perché tanto ormai l'esercizio di mio fratello era per oggi.

Mio fratello sarà contento di avere un fratello maggiore che si sta laureando in ingegneria elettrica che non sa risolvere disequazioni trigonometriche.
Mi vergogno di me stesso.

[@melia]

$cosx - senx > 0$ ad esempio con il completamento per le formule di somma/differenza di seni
$sqrt2/2 *cosx-sqrt2/2 *sinx>0 -> sin(pi/4-x)>0$
oppure con uno qualunque dei metodi usati per risolvere le equazioni e disequazioni lineari