Massimi e minimi Vincolati e Assoluti

[valep91]

ragazzi devo recuperare un brutto voto in matematica e sono in 5!!! :dontgetit
mi potete svolgere questi massimi e minimi vincolati??? :dozingoff
numero 1:
z = x(2) + y(2) + 4x + 6y - 4 vincolo: 4x + y - 6 = 0 (Col metodo della sostituzione)

numero 2:

z = x(2) + y(2) - 8x + 4 vincolo: x(2) + y(2) = 1 (Col moltiplicatore di Lagrange)

numero 3:
massimi e minimi assoluti
z = x(2) +y(2) - xy + 4x sistema di vincoli: x >= 0
y >= 0
2x + 3y

[BIT5]

Il primo esercizio ha il vincolo con entrambe le variabili di primo grado.

Pertanto sara' sufficiente esplicitare una variabile del vincolo:

[math] y=-4x+6 [/math]

e sostituirla alla funzione

[math] z=x^2+(-4x+6)^2+4x+6(-4x+6)-4 [/math]

da cui facendo i conti

[math] z=x^2+16x^2-48x+36+4x-24x+36-4 \to z=17x^2-68x+32 [/math]

deriviamo

[math] z'=34x-68 [/math]

e troviamo il valore di x per cui si annulla la derivata

[math] 34x-68=0 \to x=2 [/math]

Deriviamo ulteriormente

[math] z''=34 [/math]

e siccome la derivata seconda e' positiva, in x=2 avremo un minimo

Per trovare il valore di y, sara' sufficiente sostituire al vincolo x=2 e avremo y=-8+6=-2

Il punto (2,-2) sara' pertanto un punto di minimo vincolato

Aggiunto 15 minuti più tardi:

Nel secondo caso il vincolo presenta entrambe le variabili di grado diverso da 1

Quindi dovrai:

Costruire la funzione Lagrangiana:

[math] Z= f(x,y) + \lambda g(x,y) [/math]

e dunque

[math] Z=x^2+y^2-8x+4 + \lambda (x^2+y^2-1) [/math]

A questo punto deriviamo parzialmente secondo x, y e lambda:

[math] Z_x = 2x-8+2 \lambda x \\ Z_y= 2y+2 \lambda y \\ Z_{\lambda} = x^2+y^2-1 [/math]

Poniamo le tre derivate parziali = 0 e risolviamo il sistema:

[math] \{ 2x-8+2 \lambda x =0 \\ 2y+2 \lambda y=0 \\ x^2+y^2-1=0 [/math]

Dalla prima otteniamo:

[math] x(2(1+ \lambda))=8 \to x= \frac{8}{2(1+ \lambda)} [/math]

dalla seconda

[math] y=0 [/math]

e pertanto sostituendo alla terza

[math] \( \frac{8}{2(1+ \lambda)} \)^2 - 1 = 0 \to \\ \to \frac{64}{4(1+ \lambda^2+2 \lambda} - 1 = 0 [/math]

e quindi

[math] 64-4- 4\lambda^2 - 8 \lambda = 0 \to 4\lambda^2+8 \lambda -60 = 0 \to \\ \to \lambda^2 + 2 \lambda - 15 [/math]

Troviamo dunque

[math] \lambda = 1 \pm \sqrt{1+15} = 1 \pm 4 [/math]

e quindi

[math] \lambda_1 = 5 \\ \lambda_2 = -3 [/math]

E dunque le due soluzioni:

[math] P= \( \frac23 , 0 , 4 \) \\ P_1= \(1,0,-3 \) [/math]

Sostituendo i valori di x e di y nella funzione z si hanno i punti:

[math] z= \( \frac23 \)^2-8 \frac23 + 4 = \frac49- \frac{48}{9} + \frac{36}{9} = - \frac89 [/math]

(e quindi il punto

[math] ( \frac23 , 0 , - \frac89 \) [/math]

)

e sostituendo gli altri valori:

[math] z= 1-8+4 = -3 [/math]

ottenendo il punto

[math] \( 1 , 0, -3 \) [/math]

.

Ora non so se devi anche determinare se questi punti sono di massimo o minimo e se avete fatto l'hessiano orlato..