Massimi e minimi di due funzioni collegate

[TheBarbarios]

Salve a tutti! Ho questo esercizio che ho già risolto, ma non capisco se ci sono cose che mi stanno sfuggendo o sono solo coincidenze.
Testo:

Considera la funzione $y= 8^x - 9 * 4^x +15 * 2^x$ con $(-\infty (1) Sia $X= 2^x$. Esprimi y in funzione di $X$.
(2) Calcola i massimi e minimi relativi di y del punto (1) e i valori corrispondenti di $X$.
(3) Calcola massimo e minimo assoluti della funzione y nell' intervallo $0<= x<= log_"2"7$.

L'esercizio non è difficile come potete notare.
La risposta a (1) è $y= X^3 - 9X^2 +15X$ e alla (2) ho max $y=7$ per $X=1$ e min $y=-25$ per $X=5$.

Il mio dubbio è il punto 3.
Senza neanche pensarci ho quindi sostituito $X＝2^x$ da cui per il massimo ho che $X=1$ e quindi $x=0$ e ho quindi concluso che sia il massimo della funzione $y= 8^x - 9 * 4^x +15 * 2^x$ e allo stesso modo ho fatto per trovare il minimo in $x=log_"2"5$. Il punto è: lo posso fare? Perché sì perchè no?


Ovviamente per conferma ho calcolato la derivata di $y= 8^x - 9 * 4^x +15 * 2^x$ ed in effetti viene max per $x=0$ e min per $x=log_"2"5$.

[seb1]

Lo puoi fare perché stai componendo la funzione \(y\) tale che \(y(X)=X^3-9X^2+15X\) con una funzione monotona crescente \(g\) tale che \(g(x)=2^x\) ottenendo \(f(x)=y(g(x))=8^x-9\cdot4^x+15\cdot2^x\). Allora i massimi e i minimi di \(y\) sono rispettivamente massimi e minimi per \(f\) e, perciò, pure il viceversa.

[TheBarbarios]

"seb":Lo puoi fare perché stai componendo la funzione \(y\) tale che \(y(X)=X^3-9X^2+15X\) con una funzione monotona crescente \(g\) tale che \(g(x)=2^x\) ottenendo \(f(x)=y(g(x))=8^x-9\cdot4^x+15\cdot2^x\). Allora i massimi e i minimi di \(y\) sono rispettivamente massimi e minimi per \(f\) e, perciò, pure il viceversa.

Ho capito, interessante. Grazie!

[@melia]

$p=(n-7)*(n-11)$, poiché $p>0$ allora $011$, ma $p$ deve anche essere primo, quindi o $|n-7|=1$ oppure $|n-11|=1$, gli unici valori che può assumere $n$ sono $6$ e $12$
Per $n=6$ si ottiene $p=11$, mentre per $n=12$ si ottiene $p=5$

[TheBarbarios]

"@melia":$p=(n-7)*(n-11)$, poiché $p>0$ allora $011$, ma $p$ deve anche essere primo, quindi o $|n-7|=1$ oppure $|n-11|=1$, gli unici valori che può assumere $n$ sono $6$ e $12$
Per $n=6$ si ottiene $p=11$, mentre per $n=12$ si ottiene $p=5$

Ero distratto e per sbaglio avevo aperto il topic qua sotto Grazie della risposta! Visto che hai bloccato l'altro topic, continuo qui.


Perchè $n-7=1$ ? E' una qualche condizione affinchè sia primo? Il testo dà come risultato solo $5$. Hai idea del perchè?

[@melia]

Non ho scritto in alcun posto che $n-7=1$, ho scritto $|n-7|=1$, che significa $n-7 = +-1$ oppure $n-11= +-1$ questo perché se $p$ è un numero primo può essere scritto solo come prodotto di $1*p$ o come prodotto di $-1*(-p)$, non c'è una terza possibilità. I possibili valori di $n$ sono $n=6 vv n=8 vv n=10 vv n=12$, ma $n=8$ e $n=10$ vanno esclusi perché danno un valore negativo di $p$. Il testo ha ragione, sono io che ho dimenticato una sottrazione: sia per $n=6$ che per $n=12$ viene $p=5$.

[TheBarbarios]

"@melia":Non ho scritto in alcun posto che $n-7=1$, ho scritto $|n-7|=1$, che significa $n-7 = +-1$ oppure $n-11= +-1$ questo perché se $p$ è un numero primo può essere scritto solo come prodotto di $1*p$ o come prodotto di $-1*(-p)$, non c'è una terza possibilità. I possibili valori di $n$ sono $n=6 vv n=8 vv n=10 vv n=12$, ma $n=8$ e $n=10$ vanno esclusi perché danno un valore negativo di $p$. Il testo ha ragione, sono io che ho dimenticato una sottrazione: sia per $n=6$ che per $n=12$ viene $p=5$.

Scusami per il valore assoluto. Ho dimenticato di scriverlo.

Ho capito il ragionamento che se $p$ è primo allora può essere moltiplicato solo per $1$ ma non capisco perchè da questo segua la condizione $|n-7|=1$ o $|n-11|= 1$.

[@melia]

Ma che $ p=(n-7)*(n-11) $ sei d'accordo? Allora se $p$ è un prodotto, ma è anche un numero primo, allora uno dei due fattori del prodotto deve essere per forza $1$ oppure $-1$. Da questo $ |n-7|=1 $ oppure $ |n-11|=1 $

[orsoulx]

Ho letto questa discussione e sono notevolmente perplesso: cosa è successo, fra il 24 ed il 25 gennaio, che ha magicamente trasformato un esercizio relativo a funzioni in uno con prodotti e numeri primi?
Ciao

[@melia]

Non me n'ero accorta. Si sono fuse due discussioni completamente diverse e vedo che i primi messaggi della seconda discussione sono scomparsi. Non so che cosa possa essere successo.

[TheBarbarios]

"@melia":Ma che $ p=(n-7)*(n-11) $ sei d'accordo? Allora se $p$ è un prodotto, ma è anche un numero primo, allora uno dei due fattori del prodotto deve essere per forza $1$ oppure $-1$. Da questo $ |n-7|=1 $ oppure $ |n-11|=1 $

Sono d'accordo sul primo pezzo. Quindi devo scrivere

$|1 * p| = (n-7)*(n-11)$ e poi tralasciando $p$ trovare la soluzione?

[@melia]

Non serve il modulo su $p$ perché è positivo per ipotesi, il modulo serve a secondo membro.

[TheBarbarios]

"@melia":Non serve il modulo su $p$ perché è positivo per ipotesi, il modulo serve a secondo membro.

Si hai ragione scusa.

$ 1*p=|(n-7)*(n-11)|$ e poi risolvo ponendo entrambi i fattori uguali a $1$?

[@melia]

Con il modulo. Devono essere entrambi positivi o entrambi negativi, così il loro prodotto sarà positivo.

[TheBarbarios]

"@melia":Con il modulo. Devono essere entrambi positivi o entrambi negativi, così il loro prodotto sarà positivo.

Ho capito grazire

[orsoulx]

@melia,
devi custodire con maggior cura la tua bacchetta magica, ormai è in grado di operare autonomamente!
Ciao e grazie