Maggiore o uguale nelle disequazioni frazionarie
Ciao ragazzi! Sono in un terzo liceo scientifico e dato che nei due anni precedenti ho avuto professori scadenti, io ho evidenti lacune in matematica. Quest'anno ho cambiato scuola e mi trovo nella migliore della provincia e comincio a sentire che le mie basi di matematica non ci sono.
Stiamo facendo un ripasso generale (in realtà abbiamo finito ma per me sta durando un po' di più) sulle disequazioni e sulle equazioni (Primo, secondo e di grado superiore).
In particolare adesso stavo risolvendo una disequazione frazionaria:
$ - 1/(2x + 4) < (x - 1) / (x+2) $
Ho iniziato portando il polinomio del secondo membro al primo membro e poi ho semplificato in questo modo:
$ - 1 / (2x + 4) - (x-1) / (x + 2) < 0 $
$ 1 / (2x + 4) + (x-1) / (x + 2) > 0 $
$ 1 / (2 (x+2)) + (x-1)/(x+2) > 0 $
$ (1 + 2(x-1))/(2(x+2)) > 0 $
$ (1 + 2x - 2) / (2(x+2)) > 0 $
$ (2x - 1) / (2(x + 2)) > 0 $
Arrivato a questo punto ho posto numeratore maggiore o uguale a 0 (non ho ancora capito il perchè di questo uguale) e denominatore maggiore di 0.
$ 2x - 1 >= 0 $
$ N >= 0 $
$ 2x >= 1 $
$ x >= 1/2 $
$ D > 0 $
$ 2(x+2) > 0 $
Al denominatore applico poi la legge di annullamento del prodotto:
$ 2 > 0 $ (Sempre verificato)
$ x + 2 > 0 $
$ x > -2 $
A questo punto creo il grafico con la regola dei segni e ottengo che questa disequazione frazionaria è positiva per:
$ (x > -2) uu (x >= 1/2) $
Questo è il risultato che mi aspettavo ma in realta il maggiore o uguale non va messo. Sono mesi che ricado in questo tipo di errorri e non riesco a spiegarmi il motivo. Io ho posto numeratore maggiore o uguale a 0 quindi in corrispondenza di $ 1/2 $ io trovo un pallino pieno. Da quello che ho imparato quando un estremo è incluso bisogna mettere un maggiore o uguale, perchè in questo caso no?
Desiderei una risposta più generale possibile in modo tale da applicarla anche in altri casi (la maggior parte degli errori che commetto riguardano questo aspetto).
Grazie mille a tutti per le risposte!
Stiamo facendo un ripasso generale (in realtà abbiamo finito ma per me sta durando un po' di più) sulle disequazioni e sulle equazioni (Primo, secondo e di grado superiore).
In particolare adesso stavo risolvendo una disequazione frazionaria:
$ - 1/(2x + 4) < (x - 1) / (x+2) $
Ho iniziato portando il polinomio del secondo membro al primo membro e poi ho semplificato in questo modo:
$ - 1 / (2x + 4) - (x-1) / (x + 2) < 0 $
$ 1 / (2x + 4) + (x-1) / (x + 2) > 0 $
$ 1 / (2 (x+2)) + (x-1)/(x+2) > 0 $
$ (1 + 2(x-1))/(2(x+2)) > 0 $
$ (1 + 2x - 2) / (2(x+2)) > 0 $
$ (2x - 1) / (2(x + 2)) > 0 $
Arrivato a questo punto ho posto numeratore maggiore o uguale a 0 (non ho ancora capito il perchè di questo uguale) e denominatore maggiore di 0.
$ 2x - 1 >= 0 $
$ N >= 0 $
$ 2x >= 1 $
$ x >= 1/2 $
$ D > 0 $
$ 2(x+2) > 0 $
Al denominatore applico poi la legge di annullamento del prodotto:
$ 2 > 0 $ (Sempre verificato)
$ x + 2 > 0 $
$ x > -2 $
A questo punto creo il grafico con la regola dei segni e ottengo che questa disequazione frazionaria è positiva per:
$ (x > -2) uu (x >= 1/2) $
Questo è il risultato che mi aspettavo ma in realta il maggiore o uguale non va messo. Sono mesi che ricado in questo tipo di errorri e non riesco a spiegarmi il motivo. Io ho posto numeratore maggiore o uguale a 0 quindi in corrispondenza di $ 1/2 $ io trovo un pallino pieno. Da quello che ho imparato quando un estremo è incluso bisogna mettere un maggiore o uguale, perchè in questo caso no?
Desiderei una risposta più generale possibile in modo tale da applicarla anche in altri casi (la maggior parte degli errori che commetto riguardano questo aspetto).
Grazie mille a tutti per le risposte!
Risposte
Semplicemente perché la disequazione originaria NON ti chiede dove i due membri sono uguali ma solo dove uno è maggiore dell'altro ...
Edit: ho visto che lui non ha messo le sue soluzioni quindi ho capito io fischi per fiaschi, chiedo venia 
"axpgn":
Semplicemente perché la disequazione originaria NON ti chiede dove i due membri sono uguali ma solo dove uno è maggiore dell'altro ...
Si credo di aver capito, quindi quando pongo il numeratore maggiore o uguale a 0 per semplicità potrei porlo direttamente maggiore di 0? (Sempre nel caso in cui la disequazione è maggiore di 0)
"caffeinaplus":
Beh in verità la tua soluzione, oltre al problema del maggiore uguale è a metà, manca un intervallo.Che succede se sia numeratore che denominatore sono negativi?
A me serve sapere quando sono positivi.
Beh ottieni soluzioni anche per $x<-2$.In ogni caso, nella ultima "forma" della tua disuguaglianza hai $(2x-1)/(2(x+2)) >0$ quindi a te semplicemente non frega nulla di quando fa 0 da qui la non necessità di includere il $-2$ e $1/2$.Prova a sostituire questi due nella prima disuguaglianza e vedrai che per 1 dei due ottieni una cosa non vera, mentre per un'altra una brutta sorpresa
"skizzo66":
... quindi quando pongo il numeratore maggiore o uguale a 0 per semplicità potrei porlo direttamente maggiore di 0? (Sempre nel caso in cui la disequazione è maggiore di 0)
DEVI porlo maggiore di zero in quel caso ...
"axpgn":
[quote="skizzo66"]... quindi quando pongo il numeratore maggiore o uguale a 0 per semplicità potrei porlo direttamente maggiore di 0? (Sempre nel caso in cui la disequazione è maggiore di 0)
DEVI porlo maggiore di zero in quel caso ...[/quote]
Si esatto quello che intendevo.
"skizzo66":
.......... per semplicità potrei porlo direttamente maggiore di 0?
Assolutamente no, la semplicità lasciamola a poeti e filosofi. Tu devi rispondere a un quesito che ti viene posto. Questo ti chiede per quali intervalli di $x$ (se esistono) la disequazione proposta sia vera.
Nella fattispecie, la questione dell'uguale non si pone, dato che non viene richiesta. L'unica uguaglianza con zero da considerare, per la validità dei risultati, è che sia
$D\ne0$
per, eventualmente, eliminare quei risultati (intervalli) in cui ciò accade..........
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