Maggiorazione errore interpolazione
Cari amici!
Vorrei chiedere aiuto per quanto riguarda la dimostrazione di una disuguaglianza che il mio manuale di matematica non dà... Non mi piace imparare formule a memoria e amo assolutamente riuscire a capire perché qualcosa è come è, ed è proprio questa la parte che mi piace di più dello studio della matematica.
Data $P_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) \prod_{j=0,j!=i}^n ((x-x_j))/((x_i-x_j))$ quale formula di Lagrange del polinomio di interpolazione della funzione, derivabile fino all'ordine n+1, $f(x) inC^(n+1)([a,b])$ e posto $K>=|f^((n+1))(x)|$ si ha la seguente maggiorazione per l'errore commesso nell'approssimazione:
$|P_n(x)-f(x)| <= K/((n+1)!)|(x-x_0)···(x-x_n)|$ per $x in [a,b]$.
Il mio testo dice, senza fornire dettagli, che questa formula si può dimostrare utilizzando il teorema del valor medio, cioè $f(x) inC^1([a,b]) rArr EE x_0 in (a,b): f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a)$, che conosco, ma non vedo come applicare a questa formula di maggiorazione di errore...
Mi accorgo che $(n+1)!$ è la derivata di ordine (n+1) di $|(x-x_0)···(x-x_n)|$, ma al di là di questo non riesco ad andare... Qualcuno sarebbe così gentile e clemente
nei confronti della mia ignoranza 
da dare una mano ad un ex liceale classico (specifico perché così è chiaro quanto limitate sono le mie conoscenze) che studia da autodidatta matematica nel tempo libero a capire questa disuguaglianza e ad approfondire così i miei rudimenti nella scienza meravigliosa che è la matematica?
$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
Vorrei chiedere aiuto per quanto riguarda la dimostrazione di una disuguaglianza che il mio manuale di matematica non dà... Non mi piace imparare formule a memoria e amo assolutamente riuscire a capire perché qualcosa è come è, ed è proprio questa la parte che mi piace di più dello studio della matematica.
Data $P_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) \prod_{j=0,j!=i}^n ((x-x_j))/((x_i-x_j))$ quale formula di Lagrange del polinomio di interpolazione della funzione, derivabile fino all'ordine n+1, $f(x) inC^(n+1)([a,b])$ e posto $K>=|f^((n+1))(x)|$ si ha la seguente maggiorazione per l'errore commesso nell'approssimazione:
$|P_n(x)-f(x)| <= K/((n+1)!)|(x-x_0)···(x-x_n)|$ per $x in [a,b]$.
Il mio testo dice, senza fornire dettagli, che questa formula si può dimostrare utilizzando il teorema del valor medio, cioè $f(x) inC^1([a,b]) rArr EE x_0 in (a,b): f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a)$, che conosco, ma non vedo come applicare a questa formula di maggiorazione di errore...
Mi accorgo che $(n+1)!$ è la derivata di ordine (n+1) di $|(x-x_0)···(x-x_n)|$, ma al di là di questo non riesco ad andare... Qualcuno sarebbe così gentile e clemente
nei confronti della mia ignoranza da dare una mano ad un ex liceale classico (specifico perché così è chiaro quanto limitate sono le mie conoscenze) che studia da autodidatta matematica nel tempo libero a capire questa disuguaglianza e ad approfondire così i miei rudimenti nella scienza meravigliosa che è la matematica?$+oo$ grazie a tutti!!!
Davide
Risposte
Grazie di cuore, Luca!
Ho trovato anche questo:
http://books.google.com/books?id=e4Zmdg ... io&f=false
Mi sembra di aver capito tutto, compreso che, ad ogni successiva derivazione, la derivata di G(x) ha uno zero in meno perché la x con esponente 1 "sparisce" ad ogni ulteriore derivazione, ma -scusate l'ignoranza- non riesco a vedere che cosa c'entri il teorema del valor medio secondo cui se f(x) è derivabile in (a,b) allora $EE x_0 in (a,b)$ tale che $f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a)$...
Che relazione ha con il fatto, spiegato alla pagina di cui ho messo il link, che ogni successiva derivata di G(x) ha uno zero in meno?
Grazie di cuore di nuovo!!!
Davide
Ho trovato anche questo:
http://books.google.com/books?id=e4Zmdg ... io&f=false
Mi sembra di aver capito tutto, compreso che, ad ogni successiva derivazione, la derivata di G(x) ha uno zero in meno perché la x con esponente 1 "sparisce" ad ogni ulteriore derivazione, ma -scusate l'ignoranza- non riesco a vedere che cosa c'entri il teorema del valor medio secondo cui se f(x) è derivabile in (a,b) allora $EE x_0 in (a,b)$ tale che $f'(x_0) = (f(b)-f(a))/(b-a)$...
Che relazione ha con il fatto, spiegato alla pagina di cui ho messo il link, che ogni successiva derivata di G(x) ha uno zero in meno?
Grazie di cuore di nuovo!!!
Davide
Credo di aver capito il senso del citato utilizzo del teorema del valor medio: ad ogni successiva derivazione di G(x) la derivata ha uno zero in meno rispetto alla precedente in ordine perché, usando la notazione della pagina a cui ho messo il link, $EE t_0: G'(t_0) = 0$ se e solo se esistono un b e un a tali che $G(b)-G(a)=0$, caso che si dà negli n+2 casi in cui $t=x_0,···,x_n$ e $t=x$, e in un caso in meno ad ogni successiva derivazione...
Grazie a tutti!!!!!
Grazie a tutti!!!!!
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