Luogo dei punti equidistanti da una retta, piano cartesiano
ciao a tutti, sono nuovo del forum, e sono uno studente di liceo scientifico scientifico, e mi piace la matematica, con risultati anche più che discreti 
spero che quello che sto per chiedere non sia gia stato trattato, in caso lo fosse, chiedo venia...
allora la domanda "generica" è: data una retta, come trovo il luogo di punti equidistanti da questa, a una distanza data? ( che sarà anch'esso una retta)
nel caso pratico... ho la parabola $ y=x^2-6x+9 $ ho i punti A ( 0,9) e B ( 4,1) appartenenti ad essa. devo trovare i punti della parabola che formano con AB un triangolo di area 6 ( tali punti devono appartenere all'arco AB)
ora... io ho pensato:
trovo la distanza AB, che è 4 per radice di 5. quindi sapendo area e base, mi trovo l'altezza che è 3 fratto radice di 5. e fin qui ok. ora, pensavo di trovare appunto la retta distante da AB 3 fratto radice di 5, intersecarla con la parabola, e trovare quindi i punti cercati.
come ragionamento PENSO possa andare, ma il problema è che non riesco a trovarmi l'equazione della retta distante 3/radice di 5 dalla retta AB...
qualche consiglio/dritta in merito?
grazie 1000 a chi mi vorrà rispondere!
ciao!
p.s.: sono in 3 liceo, quindi preferirei una risoluzione normale, senza trigonometria o simili, dato che non l'abbiamo ancora fatta...
spero che quello che sto per chiedere non sia gia stato trattato, in caso lo fosse, chiedo venia...
allora la domanda "generica" è: data una retta, come trovo il luogo di punti equidistanti da questa, a una distanza data? ( che sarà anch'esso una retta)
nel caso pratico... ho la parabola $ y=x^2-6x+9 $ ho i punti A ( 0,9) e B ( 4,1) appartenenti ad essa. devo trovare i punti della parabola che formano con AB un triangolo di area 6 ( tali punti devono appartenere all'arco AB)
ora... io ho pensato:
trovo la distanza AB, che è 4 per radice di 5. quindi sapendo area e base, mi trovo l'altezza che è 3 fratto radice di 5. e fin qui ok. ora, pensavo di trovare appunto la retta distante da AB 3 fratto radice di 5, intersecarla con la parabola, e trovare quindi i punti cercati.
come ragionamento PENSO possa andare, ma il problema è che non riesco a trovarmi l'equazione della retta distante 3/radice di 5 dalla retta AB...
qualche consiglio/dritta in merito?
grazie 1000 a chi mi vorrà rispondere!
ciao!
p.s.: sono in 3 liceo, quindi preferirei una risoluzione normale, senza trigonometria o simili, dato che non l'abbiamo ancora fatta...
Risposte
Le rette che stai cercando sono rette parallele alla retta AB, basta trovare il fascio di rette parallelo alla retta AB e imporre che la distanza dal punto A (o dal punto B, è lo stesso) sia uguale a $3/(sqrt5)$ con la formula della distanza punto retta. Dovresti ottenere le due rette $y=-2x+6$ e $y=-2x+12$.
Il problema può essere risolto anche in altro modo: prendi sulla parabola il generico punto $P(u, u^2-6u+9)$ e imponi che la sua distanza dalla retta AB abbia il valore voluto.
Se però vuoi davvero trovare le rette parallele ad un retta data e distanti d da essa, puoi fare come suggerisce @melia oppure pensare che sono il luogo dei punti che distano d da quella retta; quindi indichi con P(x,y) il generico punto del luogo e imponi che la distanza di P da quella retta valga d. Per eliminare il valore assoluto dovrai distinguere in due casi, e infatti sono due le rette volute.
Se però vuoi davvero trovare le rette parallele ad un retta data e distanti d da essa, puoi fare come suggerisce @melia oppure pensare che sono il luogo dei punti che distano d da quella retta; quindi indichi con P(x,y) il generico punto del luogo e imponi che la distanza di P da quella retta valga d. Per eliminare il valore assoluto dovrai distinguere in due casi, e infatti sono due le rette volute.
"@melia":
Le rette che stai cercando sono rette parallele alla retta AB, basta trovare il fascio di rette parallelo alla retta AB e imporre che la distanza dal punto A (o dal punto B, è lo stesso) sia uguale a $3/(sqrt5)$ con la formula della distanza punto retta. Dovresti ottenere le due rette $y=-2x+6$ e $y=-2x+12$.
quindi farei per esempio fascio: y=-2x+q -> 2x+y-q=0, e poi uguaglierei la formula della distanza alla distanza voluta, giusto?
comunque, grazie a tutti e due per la risposta
"big_teo":
quindi farei per esempio fascio: y=-2x+q -> 2x+y-q=0, e poi uguaglierei la formula della distanza alla distanza voluta, giusto?
Esattamente
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