Luogo dei punti

[ragoo1]

Salve.

La traccia è:

Dati i due punti $A(0, 2)$ e $B(4, 0)$, scrivere l'equazione del luogo dei punti $C$ per i quali risulta retto l'angolo $A\hat CB$.

Ponendo $C(x, y)$ e dopo aver calcolato i coefficienti angolari delle rette $AC$ e $BC$, è sufficiente applicare la condizione di perpendicolarità.

Okay, ammetto che non ci sono arrivato. La mia soluzione è stata quella di porre $C(x, y)$ e applicare Pitagora. Quindi $AC^2+BC^2=AB^2$.

Il risultato è più o meno lo stesso, nel senso che ottengo la stessa equazione ma non la condizione di esistenza $x!=0^^x!=4$, ossia i risultati da scartare quando $C-=A$ e $C-=B$. Almeno, non mi pare. Quindi ho sbagliato?

[DavidGnomo1]

Ciaoooooooooooo!
Se ho ben interpretato le condizioni $x!=0^^x!=4$ vengono poste una volta che ti calcoli i coefficienti angolari delle due rette passanti per $AC$ e $BC$ e poni la condizione di perpendicolarità. Ti trovi?

[ragoo1]

Sì.

Dati:

$A(0, 2)$

$B(4, 0)$

La soluzione proposta è calcolare i coefficienti angolari di $AC$ e $BC$:

$m_(AC)=(y-2)/(x-0)=(y-2)/x$

$m_(BC)=(y-0)/(x-4)=y/(x-4)$

Quindi se $AC$ e $BC$ formano un angolo retto deve essere verificata la relazione:

$m_(AC)*m_(BC)=-1$

$(y-2)/x*y/(x-4)=-1$

$(y(y-2))/(x(x-4))+1=0$

$y^2-2y+x^2-4x=0 text{ con }x!=0^^x!=4$

Quindi l'equazione di una circonferenza passante per l'origine:

$x^2+y^2-4x-2y=0$

Immagino bastasse anche solo ricordare che gli angoli alla circonferenza che insistono su un diametro sono retti. Per cui calcolare le coordinate del punto medio di $AB$ e ottenere l'equazione della circonferenza in modo ancora più diretto.

La mia soluzione è stata quella di applicare semplicemente il teorema di Pitagora. Se $AC$ e $BC$ sono i lati di un angolo retto allora deve essere verificato il teorema di Pitagora:

$AC^2+BC^2=AB^2$

Dati:

$A(0, 2)$

$B(4, 0)$

Ho:

$AC=sqrt((x-0)^2+(y-2)^2)=sqrt(x^2+(y-2)^2)$

$BC=sqrt((x-4)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-4)^2+y^2)$

$AB=sqrt((4-0)^2+(0-2)^2)=sqrt(16+4)=sqrt(20)$

Quindi:

$x^2+y^2-4y+4+x^2-8x+16+y^2=20$

$2x^2+2y^2-8x-4y=0$

$x^2+y^2-4x-2y=0$

Ora, credo che in verità l'esercizio sia finito, nel senso che ho trovato l'equazione della circonferenza e potrei anche andare avanti con la mia giornata. Però il luogo dei punti di $C$ non è proprio la circonferenza, nel senso che due punti della circonferenza non sono accettabili, ossia $A$ e $B$.

Ora, con la soluzione proposta devo imporre la condizione di esistenza $x!=0^^x!=4$. Però è anche vero che $C(0, 0)$ e $C(4, 2)$ sono punti accettabili, quindi, boh?

C'è un modo... ahem, analitico per determinare che $C$ non può coincidere con $A$ o $B$?

[DavidGnomo1]

"ragoo":
......
Ora, credo che in verità l'esercizio sia finito, nel senso che ho trovato l'equazione della circonferenza e potrei anche andare avanti con la mia giornata. Però il luogo dei punti di $C$ non è proprio la circonferenza, nel senso che due punti della circonferenza non sono accettabili, ossia $A$ e $B$.

Ora, con la soluzione proposta devo imporre la condizione di esistenza $x!=0^^x!=4$. Però è anche vero che $C(0, 0)$ e $C(4, 2)$ sono punti accettabili, quindi, boh?

C'è un modo... ahem, analitico per determinare che $C$ non può coincidere con $A$ o $B$?

Ciaoooooooooooo!
Per la prima domanda la faccio semplice e poco matematica: dal punto di vista del calcolo quando utilizzi il teorema di Pitagora non hai frazioni algebriche (Qualcuno più ferrato potrà darti una risposta più esaustiva).

Per la seconda: utilizzando pitagora dovresti avere virtualmente a che fare con un triangolo. Se $C$ coincidesse con uno degli altri due punti cosa succederebbe al triangolo?